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Pricing Multi-Asset Options Using Physics-Informed Neural Networks

यह अध्ययन एक मेशफ्री फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड न्यूरल नेटवर्क (PINN) ढांचे का प्रस्ताव करता है जो कई संपत्तियों पर अमेरिकन ऑप्शंस की कीमत निर्धारित करने और बिना किसी स्पष्ट पैरामीट्राइजेशन के उनके इष्टतम एक्सरसाइज बाउंड्रीज को एंडोजेनस हाइपरसरफेस के रूप में पहचानने के लिए उच्च-आयामी ब्लैक-स्कोल्स ऑब्स्टेकल समस्या को हल करता है।

मूल लेखक: Marjan Uddin, Muhammad Usman

प्रकाशित 2026-10-22

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Marjan Uddin, Muhammad Usman

मूल पेपर CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

वित्त की दुनिया में, निवेशक अक्सर ऐसे अनुबंध खरीदते हैं जो उन्हें एक समय सीमा से पहले एक विशिष्ट कीमत पर संपत्ति बेचने का अधिकार देते हैं। इन्हें अमेरिकन ऑप्शंस (American options) कहा जाता है। उन सरल अनुबंधों के विपरीत जो केवल एक ही दिन उपयोग किए जा सकते हैं, अमेरिकन ऑप्शंस एक महत्वपूर्ण लाभ प्रदान करते हैं: धारक समाप्ति तिथि से पहले किसी भी सटीक क्षण को नकदी में बदलने का विकल्प चुन सकता है। यह लचीलापन उन्हें अविश्वसनीय रूप से मूल्यवान बनाता है, लेकिन यह उन्हें अत्यधिक कठिन भी बनाता है। चुनौती विकल्प का उपयोग करने के सही क्षण का पता लगाने में निहित है। यदि संपत्ति की बाजार कीमत बहुत कम हो जाती है, तो तुरंत बेचना बुद्धिमानी हो सकती है। यदि कीमत ऊंची बनी रहती है, तो प्रतीक्षा करना बेहतर है। "अभी बेचें" ज़ोन और "प्रतीक्षा करें" ज़ोन को अलग करने वाली रेखा कोई निश्चित, ज्ञात स्थान नहीं है; यह एक गतिशील सीमा है जो समय बीतने के साथ और अंतर्निहित संपत्तियों की कीमतों में बदलाव के साथ बदलती रहती है। एक एकल संपत्ति के लिए, यह सीमा एक सरल वक्र है। लेकिन जब विकल्प कई संपत्तियों की एक टोकरी (basket), जैसे कि विभिन्न शेयरों के मिश्रण पर निर्भर करता है, तो यह सीमा एक जटिल, बहु-आयामी सतह बन जाती है जिसे पारंपरिक गणितीय उपकरणों का उपयोग करके मैप करना अत्यंत कठिन होता है।

शोधकर्ता मरजन उद्दिन और मुहम्मद उस्मान ने एक 'फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड न्यूरल नेटवर्क' (physics-informed neural network) नामक आधुनिक कम्प्यूटेशनल तकनीक को लागू करके इस समस्या का समाधान किया। बाजार के स्थान को बिंदुओं के एक कठोर ग्रिड में तोड़ने की पुरानी पद्धति पर निर्भर रहने के बजाय, जो कई संपत्तियों के मामले में प्रबंधन करना असंभव हो जाता है, उन्होंने एक कंप्यूटर प्रोग्राम को सीधे बाजार के नियमों को सीखने के लिए प्रशिक्षित किया। उन्होंने नेटवर्क को उन मौलिक नियमों के बारे में सिखाया जो ऑप्शन की कीमतों के व्यवहार को नियंत्रित करते हैं, विशेष रूप से उन समीकरणों के समूह के बारे में जो बताते हैं कि मूल्य समय के साथ और कीमत के उतार-चढ़ाव के साथ कैसे बदलता है। नेटवर्क को इस नियम का भी पालन करने का निर्देश दिया गया था कि एक ऑप्शन का मूल्य कभी भी उस राशि से कम नहीं हो सकता जो उसे तुरंत बेचने से प्राप्त होगी। नेटवर्क को एक निश्चित ग्रिड के बजाय हजारों यादृच्छिक परिदृश्यों (random scenarios) के माध्यम से फीड करके, शोधकर्ताओं ने इसे उस अदृश्य सीमा के आकार को खोजने की अनुमति दी जहाँ विकल्प का उपयोग करना इष्टतम होता है। यह दृष्टिकोण "डायमेंशनलिटी का अभिशाप" (curse of dimensionality) से बचता है, जो एक ऐसी समस्या है जहाँ अधिक संपत्तियां जोड़ने पर गणनाओं की जटिलता विस्फोट की तरह बढ़ जाती है, क्योंकि नेटवर्क को बाजार के स्थान को स्वतंत्र रूप से नमूना लेने (sample) की अनुमति मिलती है।

टीम ने दो सह-संबंधित (correlated) संपत्तियों वाले एक बास्केट ऑप्शन पर अपने तरीके का परीक्षण किया। अपने शुरुआती प्रयासों में, कंप्यूटर सही उत्तर खोजने में संघर्ष कर रहा था, और अक्सर बहुत अधिक कीमतें उत्पन्न कर रहा था। शोधकर्ताओं ने पाया कि समस्या नेटवर्क की संरचना में नहीं, बल्कि इस बात में थी कि वे इसे कैसे सिखा रहे थे। वे एक ऐसे दंड प्रणाली (penalty system) का उपयोग कर रहे थे जो बहुत ही अस्पष्ट था; यह नेटवर्क को उन तरीकों से दंडित कर रहा था जो वास्तविक वित्तीय नियमों से मेल नहीं खाते थे। विशेष रूप से, नेटवर्क को उन स्थितियों में शर्तों को पूरा करने के लिए मजबूर किया जा रहा था जो केवल "प्रतीक्षा" क्षेत्र में लागू होनी चाहिए थीं, जिससे एक ऐसा संघर्ष पैदा हुआ जो गलत परिणामों की ओर ले गया। विभिन्न प्रयोगों की एक श्रृंखला के माध्यम से, उन्होंने अपने दृष्टिकोण को परिष्कृत किया। उन्होंने डेटा को सामान्य (normalize) किया ताकि संख्याओं को संभालना आसान हो सके, निर्णय सीमा के पास के महत्वपूर्ण क्षेत्रों पर ध्यान केंद्रित करने के लिए अपने बाजार परिदृश्यों के नमूनाकरण (sampling) को समायोजित किया, और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि उन्होंने समस्या की एक-तरफा प्रकृति का सम्मान करने के लिए दंड फलन (penalty function) को फिर से डिजाइन किया। उन्होंने महसूस किया कि उस क्षेत्र में जहाँ विकल्प को थामे रखना सबसे अच्छा है, कीमत को बाजार के नियमों का पालन करना चाहिए, लेकिन उस क्षेत्र में जहाँ विकल्प को बेचना सबसे अच्छा है, कीमत केवल भुगतान (payout) के बराबर होती है, और वहां बाजार के नियमों को उसी तरह लागू होने की आवश्यकता नहीं होती है।

इन गणितीय गलतफहमियों को ठीक करने के बाद, नेटवर्क ने लगभग $7.87 का अंतिम परिणाम दिया। यह परिणाम लॉन्गस्टाफ-श्वार्ट्ज़ मोंटे कार्लो (Longstaff–Schwartz Monte Carlo) तकनीक का उपयोग करके गणना किए गए $6.90 के बेंचमार्क मूल्य की तुलना में लगभग 14% का अधिक अनुमान था। हालांकि यह सबसे निकटतम था जो पूरी जांच के दौरान किसी भी कॉन्फ़िगरेशन द्वारा प्राप्त किया गया था और यह संख्यात्मक-विविक्तकरण त्रुटि (numerical-discretization error) की सीमा के भीतर था न कि किसी संरचनात्मक विफलता का संकेत था, लेखकों ने उल्लेख किया कि PINN दृष्टिकोण केवल तभी प्रतिस्पर्धी होता है जब इसका लॉस फंक्शनल (loss functional) अंतर्निहित वेरिएशनल इनइक्वेलिटी (variational inequality) को सटीक रूप से एनकोड करता है। अध्ययन ने प्रदर्शित किया कि जबकि न्यूरल नेटवर्क इन जटिल वित्तीय उपकरणों की कीमत निर्धारित करने में बड़ी संभावना रखते हैं, उनकी सफलता पूरी तरह से प्रशिक्षण प्रक्रिया में सही गणितीय तर्क को एनकोड करने पर निर्भर करती है। शोधकर्ताओं ने पाया कि समस्या में केवल अधिक डेटा या अधिक कंप्यूटिंग शक्ति डालने से काम नहीं चलेगा; मॉडल को इस बात के सटीक मार्गदर्शन की आवश्यकता थी कि खेल के नियम कहाँ बदलते हैं। समस्या के अंतर्निहित भौतिकी (physics) को सही करके, उन्होंने दिखाया कि ये नेटवर्क बहु-परिसंपत्ति विकल्पों के मूल्य को निर्धारित करने वाली अदृश्य सीमाओं को प्रभावी ढंग से मैप कर सकते हैं, जो उच्च-आयामी वित्तीय बाजारों में नेविगेट करने के लिए एक शक्तिशाली नया उपकरण प्रदान करते हैं।

तकनीकी सारांश: फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड न्यूरल नेटवर्क का उपयोग करके मल्टी-एसेट ऑप्शंस की प्राइसिंग

समस्या विवरण
यह शोध पत्र कई अंतर्निहित परिसंपत्तियों (assets) ( $d > 1$ ) पर अमेरिकन ऑप्शंस के मूल्यांकन को संबोधित करता है, जैसे कि बास्केट, स्प्रेड, या रेनबो ऑप्शंस। यूरोपीय ऑप्शंस के विपरीत, अमेरिकन ऑप्शंस समय से पहले निष्पादन (early exercise) की अनुमति देते हैं, जिससे प्राइसिंग समस्या एक फ्री-बाउंड्री समस्या (free-boundary problem) में बदल जाती है। ऑप्शन का मूल्य एक "कंटिन्यूएशन रीजन" (जहाँ होल्ड करना इष्टतम है) में ब्लैक-स्कोल्स आंशिक अंतर समीकरण (PDE) को संतुष्ट करना चाहिए, जबकि वह "एक्सरसाइज रीजन" (जहाँ तत्काल नकदीकरण इष्टतम है) में इंट्रिन्सिक पेऑफ (intrinsic payoff) द्वारा बाधित रहता है। इन क्षेत्रों को अलग करने वाली सीमा (boundary) पूर्व में ज्ञात नहीं होती है।

जबकि सिंगल-एसेट ( $d=1$ ) समस्याओं को फिनेट डिफरेंस, बाइनोमियल ट्रीज़ और रेडियल बेसिस फंक्शन्स (RBF) जैसी विधियों का उपयोग करके प्रभावी ढंग से हल किया गया है, उच्च आयामों (dimensions) में इनका विस्तार करने से "कर्स ऑफ डायमेंशनलिटी" (curse of dimensionality) उत्पन्न होता है। विशेष रूप से, पारंपरिक ग्रिड-आधारित या नॉट-आधारित क्वासी-इंटरपोलेशन स्कीम्स (जैसे, हों और शाबैक, 2002) जैसे कि जब एसेट्स की संख्या बढ़ती है, तो जटिलता में घातांकीय वृद्धि ( $O(N^d)$ ) होती है, जिससे वे $d > 1$ के लिए गणनात्मक रूप से अव्यवहार्य हो जाते हैं।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक एक फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड न्यूरल नेटवर्क (PINN) ढांचे का प्रस्ताव करते हैं जो बिना किसी स्पष्ट मेश जनरेशन के ऑप्शन वैल्यू और इष्टतम एक्सरसाइज बाउंड्री का अनुमान लगाता है।

गणितीय सूत्रीकरण (Mathematical Formulation):
- समस्या को लॉग-प्राइस कोऑर्डिनेट्स ( $x_i = \log S_i$ ) में तैयार किया गया है ताकि डिफ्यूजन टर्म को सममित (symmetrize) किया जा सके और परिवर्तनीय गुणांकों (variable coefficients) को स्थिरांकों में बदला जा सके।
- प्राइसिंग समस्या को एक वेरिएशनल इनइक्वालिटी (variational inequality) या लीनियर कॉम्प्लीमेंटैरिटी प्रॉब्लम के रूप में व्यक्त किया गया है:
  $\min\left( -\frac{\partial u}{\partial t} + \mathcal{L}u, \, u - g \right) = 0$
  जहाँ $\mathcal{L}$ मल्टी-एसेट ब्लैक-स्कोल्स ऑपरेटर है, $u$ ऑप्शन वैल्यू है, और $g$ पेऑफ है। इसका तात्पर्य यह है कि या तो PDE रेसिड्यूल शून्य होता है (कंटिन्यूएशन रीजन) या ऑप्शन वैल्यू पेऑफ के बराबर होती है (एक्सरसाइज रीजन), जबकि $u \geq g$ हमेशा बना रहता है।
न्यूरल नेटवर्क आर्किटेक्चर:
- एक फीड-फॉरवर्ड नेटवर्क जिसमें स्मूथ एक्टिवेशन फंक्शन्स (विशेष रूप से tanh) ऑप्शन वैल्यू $u_\theta(S, t)$ का अनुमान लगाता है।
- PDE ऑपरेटर के लिए आवश्यक प्रथम और द्वितीय-क्रम के डेरिवेटिव्स की गणना करने के लिए ऑटोमैटिक डिफरेंशिएशन का उपयोग किया जाता है, जिससे फिक्स्ड बेसिस फंक्शन्स की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।
लॉस फंक्शन और ट्रेनिंग:
- नेटवर्क को चार रेसिड्यूल टर्म्स के भारित योग (weighted sum) को कम करके प्रशिक्षित किया जाता है:
  1. PDE रेसिड्यूल: इंटीरियर में ब्लैक-स्कोल्स समीकरण को लागू करता है।
  2. टर्मिनल कंडीशन: एक्सपायरी पर ज्ञात पेऑफ के साथ समाधान को जोड़ता है।
  3. बाउंड्री कंडीशंस: एसेट प्राइस बाउंड्रीज़ (जैसे, शून्य या अनंत) पर व्यवहार को लागू करता है।
  4. ऑब्सटैकल/अर्ली-एक्सरसाइज कंडीशन: उन स्थानों पर उल्लंघन को दंडित करता है जहाँ $u < g$ होता है।
- सैंपलिंग (Sampling): एक निश्चित ग्रिड के बजाय, स्पेस-टाइम डोमेन पर लो-डिस्क्रिपेंसी सीक्वेंस (सोबोल या लैटिन हाइपरक्यूब) से कोलकेशन पॉइंट्स को सैंपल किया जाता है। यह अनुमति देता है कि पॉइंट्स की संख्या टेंसर-प्रोडक्ट ग्रिड की तुलना में आयाम $d$ के साथ अधिक अनुकूल रूप से स्केल हो सके।
- एक्सरसाइज बाउंड्री रिकवरी: इष्टतम एक्सरसाइज बाउंड्री को एक 'जीरो लेवल सेट' के रूप में पहचाना जाता है जहाँ प्रेडिक्टेड वैल्यू इंट्रिन्सिक पेऑफ के बराबर होती है ( $u_\theta - g = 0$ ), जो एक $(d-1)$ -डायमेंशनल हाइपरसरफेस बनाती है।

प्रायोगिक परिणाम और नैदानिक प्रक्रिया (Experimental Results and Diagnostic Process)
लेखकों ने MATLAB का उपयोग करके दो-एसेट अमेरिकन बास्केट पुट ऑप्शन पर एक विस्तृत डायग्नोस्टिक अध्ययन किया। पेपर आठ प्रायोगिक रन के क्रम का विवरण देता है, जो इस बात पर प्रकाश डालता है कि केवल आर्किटेक्चरल विकल्प ही पर्याप्त नहीं थे; लॉस फंक्शन का गणितीय सूत्रीकरण महत्वपूर्ण था।

प्रारंभिक विफलताएं (रन्स 1–3): ऑब्सटैकल कंडीशन के लिए स्टैंडर्ड स्क्वेर्ड-हिंज पेनल्टी और अननॉर्मलाइज्ड इनपुट्स का उपयोग करने वाले शुरुआती प्रयासों के परिणामस्वरूप विचलन (divergence) हुआ या ऑप्शन प्राइस का अत्यधिक अनुमान लगाया गया (जैसे, मोंटे कार्लो रेफरेंस के $6.90 के मुकाबले$ 12.58)। नेटवर्क "ग्रेटर देन" कंस्ट्रेंट को संतुष्ट करने के लिए वैल्यू को बढ़ाता रहा, बिना PDE रेसिड्यूल को ठीक से संतुलित किए।
सैंपलिंग और स्थिरता (रन्स 4–7): एडजस्टमेंट्स जैसे कि नियर-स्ट्राइक सैंपलिंग, एडेप्टिव री-सैंपलिंग और विविध लॉस लैंडस्केप (जैसे, एक सिंगल वेरिएशनल इनइक्वालिटी टर्म का उपयोग) ने विसंगति को हल करने में विफल रहे। वास्तव में, वर्तमान रेसिड्यूल्स के आधार पर एडेप्टिव री-सैंपलिंग से प्रदर्शन और खराब हो गया ( $30.77), और वेरिएशनल इनइक्वालिटी लॉस ने अस्थिरता पैदा की। रन 6, जिसने स्टेबल हिंज-बेस्ड ऑब्सटैकल्स के साथ नियर-स्ट्राइक सैंपलिंग को जोड़ा, वह भी विफल रहा, जिसने फ्लैट ग्रीक्स के साथ$ 12.96 का प्राइस दिया।
ब्रेकथ्रू (रन 8): सफल कॉन्फ़िगरेशन लॉस फंक्शन में एक सैद्धांतिक गलतफहमी को सुधारने पर निर्भर था:
1. वन-साइडेड PDE पेनल्टी: PDE रेसिड्यूल को केवल तभी दंडित किया जाता है जब वह नेगेटिव हो (कंटिन्यूएशन रीजन में), जिससे इसे एक्सरसाइज रीजन में पॉजिटिव होने की अनुमति मिलती है जहाँ PDE सख्ती से लागू नहीं होता है।
2. फिशर-बर्मीस्टर कॉम्प्लीमेंटैरिटी: एक नॉन-स्मूथ min फंक्शन या साधारण हिंज के बजाय, कॉम्प्लीमेंटैरिटी कंडीशन ( $gap \ge 0, F \ge 0, gap \cdot F = 0$ ) को लागू करने के लिए एक स्मूथ फिशर-बर्मीस्टर फंक्शन का उपयोग किया गया।
3. नॉर्मलाइजेशन: इनपुट्स और आउटपुट्स को स्ट्राइक प्राइस $K$ द्वारा नॉर्मलाइज किया गया।

अंतिम परिणाम:
सुधारित लॉस फंक्शनल (रन 8) के साथ, PINN ने बास्केट पुट के लिए $7.87** की कीमत प्राप्त की, जबकि लॉन्गस्टैफ-श्रुत्ज़ मोंटे कार्लो रेफरेंस **$ 6.90 था। यह लगभग 14% का ओवरएस्टिमेट (अति-अनुमान) है। लेखकों ने उल्लेख किया कि हालांकि यह पिछले रन की तुलना में एक महत्वपूर्ण सुधार है, लेकिन प्रारंभिक तुलना ने दोनों दृष्टिकोणों के बीच एक "स्पष्ट असहमति" को प्रकट किया, और अंतिम परिणाम अभी भी एक ओवरएस्टिमेट है जिसे रेफरेंस वैल्यू तक पहुँचने के लिए विशिष्ट सैद्धांतिक सुधारों की आवश्यकता है। ग्रीक्स (डेल्टा) भी रेफरेंस के साथ अधिक निकटता से संरेखित थे।

महत्व और दावे
पेपर का दावा है कि PINN फ्रेमवर्क एक मेश-फ्री कार्यप्रणाली (mesh-free methodology) प्रदान करता है जो उच्च-आयामी अमेरिकन ऑप्शन प्राइसिंग को संभालने में सक्षम है जहाँ पारंपरिक ग्रिड-आधारित विधियाँ विफल हो जाती हैं।

प्राथमिक योगदान केवल न्यूरल नेटवर्क का अनुप्रयोग नहीं है, बल्कि लॉस फंक्शन के लिए आवश्यक गणितीय संरचना की कठोर पहचान है। लेखक प्रदर्शित करते हैं कि फ्री-बाउंड्री समस्याओं के लिए, लॉस फंक्शन को वेरिएशनल इनइक्वालिटी को सटीक रूप से एनकोड करना चाहिए, विशेष रूप से यह सम्मान करते हुए कि PDE रेसिड्यूल और ऑब्सटैकल कंडीशन हर जगह एक साथ शून्य होने की आवश्यकता नहीं है। अध्ययन निष्कर्ष निकालता है कि PINN दृष्टिकोण केवल तभी क्लासिकल मोंटे कार्लो विधियों के साथ प्रतिस्पर्धी है जब इसका लॉस फंक्शन इसके अंतर्निहित वेरिएशनल इनइक्वालिटी को सटीक रूप से एनकोड करता है, न कि इससे पहले। यह इस बात पर जोर देता है कि सामान्य दृष्टिकोण के लिए इसके मानक स्वरूप में प्रतिस्पर्धात्मक होने के बजाय, लॉस स्ट्रक्चर को विशिष्ट सैद्धांतिक सुधारों की आवश्यकता होती है।

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