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Pricing Multi-Asset Options Using Physics-Informed Neural Networks

本研究提出了一种无网格物理信息神经网络（PINN）框架，用于求解高维布莱克-斯科尔斯障碍问题，从而在无需显式参数化的情况下，同时对多资产美式期权进行定价，并将其最优行权边界识别为内生超曲面。

原作者： Marjan Uddin, Muhammad Usman

发布于 2026-10-22

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原作者： Marjan Uddin, Muhammad Usman

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

在金融领域，投资者经常购买赋予他们在截止日期前以特定价格出售资产权利的合约。这些被称为美式期权。与只能在特定一天使用的简单合约不同，美式期权提供了一个至关重要的优势：持有者可以在到期日之前的任何精确时刻选择变现。这种灵活性使它们极其珍贵，但也使它们的定价变得异常困难。挑战在于如何确定行使期权的完美时机。如果资产的市场价格跌得太低，立即出售可能是明智之举；如果价格保持在高位，等待则更为合适。分隔“立即出售”区域与“等待”区域的界限并不是一个固定且已知的地点，而是一个随着时间流逝和标的资产价格变化而移动的边界。对于单一资产，这个边界是一条简单的曲线。但当期权取决于由多种资产（如不同股票的组合）组成的篮子时，这个边界就变成了一个复杂的、多维的曲面，使用传统的数学工具极难对其进行建模。

研究人员马尔詹·乌丁（Marjan Uddin）和穆罕默德·乌斯曼（Muhammad Usman）通过应用一种被称为物理信息神经网络（physics-informed neural network）的现代计算技术解决了这一问题。他们没有依赖于将市场空间划分为僵化网格点的传统方法（这种方法在处理多种资产时会变得无法管理），而是训练了一个计算机程序来直接学习市场的规则。他们教会了神经网络支配期权价格行为的基本规律，特别是描述价值随时间变化及随价格波动变化的方程组。网络还被指示要遵守一条规则，即期权的价值永远不会低于立即出售所能获得的金额。通过向网络输入数千个随机场景而非固定网格，研究人员让它发现了决定行使期权是否最优的那个隐形边界的形状。这种方法通过让网络自由采样市场空间，避开了“维度灾难”——即随着资产增加，计算复杂度呈爆炸式增长的问题。

该团队在一种涉及两种相关资产的篮子期权上测试了他们的方法。在最初的尝试中，计算机难以找到正确答案，经常产生过高的价格。研究人员发现，问题不在于网络的架构，而在于他们教导它的方式。他们之前使用的惩罚系统过于粗糙；它对错误的惩罚方式并不符合实际的金融规则。具体而言，网络被强迫在应当属于“行使”区域的条件下满足条件，而这些条件本应只适用于“等待”区域，这种冲突导致了不准确的结果。通过一系列仔细的实验，他们改进了方法。他们对数据进行了归一化处理以使数值更易处理，调整了采样市场场景的方式以更加关注决策边界附近的临界区域，并且最重要的是，重新设计了惩罚函数，以尊重问题的单侧性质。他们意识到，在持有期权最佳的区域，价格必须遵循市场规律；但在最佳出售时机所在的区域，价格仅等于其收益，此时市场规律并不需要以同样的方式适用。

在修正了这些数学上的误解后，网络得出了约 7.87 美元的最终结果。与使用 Longstaff–Schwartz 蒙特卡洛技术计算出的 6.90 美元基准价格相比，这一结果高估了约 14%。虽然这是整个研究过程中所有配置中最接近的结果，且处于典型的数值离散误差范围内，而非指向结构性失败，但作者指出，只有当损失泛函准确编码了底层的变分不等式时，PINN 方法才具有与经典蒙特卡洛方法竞争的实力。这项研究表明，虽然神经网络在为这些复杂的金融工具定价方面具有巨大的潜力，但它们的成功完全取决于是否将正确的数学逻辑编码进训练过程。研究人员发现，仅仅向问题投入更多的数据或更多的计算能力是不够的；模型必须由对规则变化之处的精确理解来引导。通过正确掌握问题的底层物理特性，他们展示了这些网络可以有效地绘制出决定多资产期权价值的隐形边界，为在高维金融市场中航行提供了强大的新工具。

技术摘要：使用物理信息神经网络进行多资产期权定价

问题陈述
本文研究了对多种标的资产（ $d > 1$ ）的美国期权进行估值的问题，例如篮子期权（basket）、价差期权（spread）或彩虹期权（rainbow）。与欧式期权不同，美国期权允许提前行权，这使得定价问题转化为一个自由边界问题。期权价值必须在“延续区域”（即持有为最优的区域）内满足 Black–Scholes 偏微分方程（PDE），同时在“行权区域”（即立即变现为最优的区域）内受到内在收益（intrinsic payoff）的约束。分隔这两个区域的边界是预先未知的。

虽然单资产（ $d=1$ ）问题可以有效地使用有限差分法、二叉树和径向基函数（RBF）等方法求解，但将其扩展到高维会面临“维度灾难”。具体而言，传统的基于网格或基于节点（knot-based）的拟插值方案（例如 Hon 和 Schaback, 2002）随着资产数量 $d$ 的增加，其复杂度呈指数级增长（ $O(N^d)$ ），这使得在高维情况下在计算上是不可行的。

方法论
作者提出了一种**物理信息神经网络（PINN）**框架，用于近似期权价值和最优行权边界，且无需显式生成网格。

数学公式化：
- 问题在对数价格坐标（ $x_i = \log S_i$ ）下进行公式化，以使扩散项对称化并将变系数转换为常数。
- 定价问题被表示为一个变分不等式或线性互补问题：
  $\min\left( -\frac{\partial u}{\partial t} + \mathcal{L}u, \, u - g \right) = 0$
  其中 $\mathcal{L}$ 是多资产 Black–Scholes 算子， $u$ 是期权价值， $g$ 是收益。这意味着要么 PDE 残差为零（延续区域），要么期权价值等于收益（行权区域），且始终保持 $u \geq g$ 。
神经网络架构：
- 使用具有光滑激活函数（具体为 tanh）的前馈网络来近似期权价值 $u_\theta(S, t)$ 。
- 使用自动微分来计算 PDE 算子所需的必要一阶和二阶导数，从而避免了对固定基函数的依赖。
损失函数与训练：
- 网络通过最小化四个加权残差项之和进行训练：
  1. PDE 残差： 在内部强制执行 Black–Scholes 方程。
  2. 终值条件： 将解锚定在到期时的已知收益。
  3. 边界条件： 强制执行资产价格边界（如零或无穷大）处的行为。
  4. 障碍/提前行权条件： 惩罚违反 $u < g$ 的情况。
- 采样： 取代固定网格，在时空域内从低差异序列（Sobol 或 Latin Hypercube）中抽取配点。这使得采样点的数量在维度 $d$ 增加时，其增长速度比张量积网格更具优势。
- 行权边界恢复： 最优行权边界是在预测值等于内在收益（ $u_\theta - g = 0$ ）的零水平集处进行事后识别，形成一个 $(d-1)$ 维超曲面。

实验结果与诊断过程
作者使用 MATLAB 对一个两资产美国篮子看跌期权进行了广泛的诊断性研究。论文详细描述了一个包含八次实验运行的演进过程，强调了仅仅依靠架构选择是不够的；损失函数的数学公式化至关重要。

初始失败（运行 1–3）： 早期尝试使用标准的平方铰链惩罚（squared-hinge penalties）处理障碍条件以及未归一化的输入，导致发散或显著高估期权价格（例如，参考值为 \ $6.90，而模型预测为 \$ 12.58）。网络倾向于通过抬高数值来满足“大于”约束，却未能很好地平衡 PDE 残差。
采样与稳定性（运行 4–7）： 调整方案（如近行权价采样、自适应重采样以及改变损失景观，例如使用单一变分不等式项）均未能解决差异问题。事实上，基于当前残差的自适应重采样导致性能更差（\ $30.77），而变分不等式损失引入了不稳定性。运行 6 结合了稳定的基于铰链的障碍条件和近行权价采样，但也失败了，产生了 \$ 12.96 的价格且希腊字母（Greeks）表现平坦。
突破口（运行 8）： 成功的配置依赖于对损失函数中理论误解的修正：
1. 单侧 PDE 惩罚： 仅当 PDE 残差为负时（在延续区域）才对其进行惩罚，允许其在 PDE 不严格成立的行权区域内为正。
2. Fischer–Burmeister 互补性： 使用光滑的 Fischer–Burmeister 函数代替非光滑的 min 函数或简单的铰链函数，以强制执行互补条件（ $gap \ge 0, F \ge 0, gap \cdot F = 0$ ）。
3. 归一化： 输入和输出均通过行权价 $K$ 进行归一化。

最终结果：
通过修正后的损失泛函（运行 8），PINN 对篮子看跌期权的定价达到了 \ $7.87**，相比之下，Longstaff–Schwartz 蒙特卡洛参考值为 **\$ 6.90。这代表了约 14% 的高估。作者指出，虽然这比之前的运行有了显著改进，但初步对比揭示了两种方法之间存在“明显的差异”，且最终结果仍是一个需要特定理论修正才能接近参考值的过高估计。希腊字母（Delta）也与参考值更加一致。

意义与主张
论文声称，PINN 框架提供了一种无网格方法论，能够处理传统基于网格的方法因维度灾难而无法处理的高维美国期权定价问题。

其主要贡献不仅在于应用神经网络，而在于对损失函数所需数学结构的严谨识别。作者证明，对于自由边界问题，损失函数必须准确编码变分不等式，特别是要尊重 PDE 残差和障碍条件不需要在所有地方同时消失这一事实。研究结论指出，只有当其损失泛函准确编码了底层的变分不等式时，PINN 方法才与经典的蒙特卡洛方法具有竞争力，而在编码之前则不然。 这强调了对于自由边界问题，实现准确性需要对损失结构进行特定的理论修正，而非仅仅依靠其标准的数学形式。

技术摘要：使用物理信息神经网络进行多资产期权定价

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