Chaos is not an invariant of fractional-order systems: the clock shapes orbits, attractors and bifurcations
यह शोधपत्र यह प्रदर्शित करता है कि, पूर्णांक-क्रम वाली प्रणालियों के विपरीत, भिन्नात्मक-क्रम वाली गतिक प्रणालियाँ अवस्था-निर्भर समय पुनर्रचना (घड़ियों) के अंतर्गत अपरिवर्तित नहीं रहती हैं, जो एक ऐसा गुण है जो मौलिक रूप से कक्षा ज्यामिति को बदल देता है और स्थानीय स्थिरता को बदले बिना अराजकता उत्पन्न कर सकता है, जिससे यह स्थापित होता है कि भिन्नात्मक आकर्षणकर्ता (अट्रैक्टर्स) प्रणाली और उसके विशिष्ट समय नियम दोनों के अंतर्निहित गुण हैं।
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चीजों के चलने और समय के साथ बदलने के अध्ययन में, वैज्ञानिक अक्सर एक सरल, सुखद विचार पर भरोसा करते हैं: किसी वस्तु द्वारा लिया गया पथ उस पर लगने वाले बलों द्वारा निर्धारित होता है, जबकि उस पथ पर उसकी गति केवल उस घड़ी का मामला है जिसका उपयोग हम उसे मापने के लिए करते हैं। कल्पना कीजिए कि एक चट्टान के चारों ओर नदी बह रही है। पानी के मार्ग का आकार चट्टान और नदी के तल द्वारा निर्धारित होता है। यदि आप पानी की गति को बढ़ा दें या कम कर दें, तो पानी अभी भी उसी वक्र (curve) का अनुसरण करेगा; वह बस वहां तक तेजी से या धीरे पहुंचेगा। सदियों से, यह सिद्धांत भौतिकी और गणित का एक आधार स्तंभ रहा है, जिसने शोधकर्ताओं को गति के शुद्ध ज्यामिति (geometry) को समझने के लिए समय के विवरणों को हटाने की अनुमति दी है। यह तर्क मानक प्रणालियों के लिए सही है, जहाँ परिवर्तन के नियम परिवर्तन की साधारण दरों पर आधारित होते हैं। हालाँकि, कई प्राकृतिक प्रणालियाँ, जैसे कि पॉलिमर के खिंचाव का तरीका या झिल्ली के माध्यम से रसायनों का प्रसार, इन सरल नियमों का पालन नहीं करती हैं। इसके बजाय, उनमें एक प्रकार की स्मृति (memory) होती है, जहाँ उनका वर्तमान व्यवहार उनके संपूर्ण अतीत के इतिहास पर निर्भर करता है, जिसमें हाल की घटनाओं को दूर की घटनाओं की तुलना में अधिक महत्व दिया जाता है। इन्हें 'फ्रैक्शनल-ऑर्डर सिस्टम' (fractional-order systems) के रूप में जाना जाता है, और दशकों से, वैज्ञानिकों ने उनके लिए भी उसी पुराने तर्क को लागू किया है, यह मानते हुए कि प्रक्रिया की गति को बदलने से उन पथों का आकार नहीं बदलेगा जिनका अनुसरण वह प्रणाली करती है।
एक नया शोध इस लंबे समय से चली आ रही धारणा को चुनौती देता है, जो यह प्रकट करता है कि स्मृति-संचालित प्रणालियों के लिए, घड़ी केवल एक निष्क्रिय पर्यवेक्षक नहीं है बल्कि वास्तविकता को आकार देने वाली एक सक्रिय शक्ति है। शोधकर्ता ने इन स्मृति-संचालित प्रणालियों के गणितीय मॉडलों के साथ काम करते हुए पाया कि समीकरणों को एक ऐसे फलन (function) से गुणा करना जो प्रणाली की स्थिति के आधार पर बदलता है—अनिवार्य रूप से एक परिवर्तनशील घड़ी के साथ प्रणाली को चलाना—केवल गति को नहीं बदलता है। इसके बजाय, यह पथ को मौलिक रूप से विकृत कर देता है। एक मानक प्रणाली में, यदि आप किसी निश्चित अवस्था में प्रणाली की गति बढ़ाते हैं, तो प्रक्षेपवक्र (trajectory) समान रहता है। एक फ्रैक्शनल प्रणाली में, गति में वही परिवर्तन प्रक्षेपवक्र को एक पूरी तरह से अलग आकार में मोड़ देता है और घुमा देता है। अध्ययन सिद्ध करता है कि यह विरूपण एक यादृच्छिक त्रुटि नहीं है, बल्कि स्मृति के विशिष्ट "क्रम" (order) द्वारा शासित एक पूर्वानुमेय प्रभाव है, जो एक संख्या है जो यह बताती है कि प्रणाली अपने अतीत को कितनी मजबूती से याद रखती है।
शोधकर्ता ने एक ही गणितीय मॉडल के दो संस्करणों की तुलना करके इसे प्रदर्शित किया: एक जो एक स्थिर गति से चल रहा है और दूसरा जहाँ गति प्रणाली के वर्तमान स्थान के आधार पर बदलती है। मानक पूर्णांक-क्रम (integer-order) के मामले में, दोनों पथ पूरी तरह से एक दूसरे के ऊपर स्थित थे। फ्रैक्शनल मामले में, वे अलग हो गए। इस अंतर को दो विशिष्ट गणितीय फलनों का उपयोग करके मापा गया जो यह बताते हैं कि समय का नियम कितना बदलता है और कक्षा (orbit) की ज्यामिति कितनी विकृत होती है। ये फलन केवल तभी शून्य होते हैं जब प्रणाली में कोई स्मृति नहीं होती, जो इस बात की पुष्टि करता है कि यह प्रभाव सीधे स्मृति का परिणाम है। अध्ययन ने दिखाया कि जबकि एक विश्राम बिंदु (resting point) की स्थिरता घड़ी बदलने के बावजूद अपरिवर्तित रहती है, प्रणाली की वैश्विक संरचनाएं, जैसे कि एक लिमिट साइकिल के लूप या अराजक अट्रैक्टर्स (chaotic attractors) के जटिल आकार, इस बात के प्रति अत्यधिक संवेदनशील होते हैं कि समय को कैसे मापा जाता है।
इस खोज के वास्तविक दुनिया के प्रभाव का परीक्षण करने के लिए, शोधकर्ता ने दोलन और अराजक व्यवहार का वर्णन करने वाले कई प्रसिद्ध गणितीय मॉडलों पर इस सिद्धांत को लागू किया। एक मामले में, वैन डेर पोल ऑसिलेटर (van der Pol oscillator) के रूप में ज्ञात एक कंपन प्रणाली के फ्रैक्शनल संस्करण को एक ऐसी घड़ी के साथ चलाया गया जो उसके स्थान के आधार पर तेज और धीमी होती थी। परिणाम एक लिमिट साइकिल था जो स्थिर घड़ी द्वारा उत्पन्न चक्र से आकार और आकृति में स्पष्ट रूप से भिन्न था, जिसमें आयाम (amplitude) में अंतर सोलह प्रतिशत तक पहुँच गया। एक अन्य, अधिक नाटकीय परीक्षण में, जिसमें चेन सिस्टम (Chen system) शामिल था—जो अक्सर अराजकता का अध्ययन करने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक मॉडल है—शोधकर्ता ने पाया कि एक ही प्रणाली, बिल्कुल उसी बिंदु से शुरू होकर और उन्हीं मापदंडों का उपयोग करके, केवल घड़ी बदलकर दो पूरी तरह से अलग तरीकों से व्यवहार कर सकती थी। एक स्थिर घड़ी के साथ, प्रणाली एक अनुमानित, दोहराव वाले लूप में स्थिर हो गई। एक ऐसी घड़ी के साथ जो उसके तापमान-जैसे चर (variable) के आधार पर बदलती थी, वही प्रणाली अराजकता में डूब गई, एक जंगली, अप्रत्याशित पथ का अनुसरण करते हुए। यह एक ऐसी घटना है जो मानक प्रणालियों में असंभव है, जहाँ गति की प्रकृति—चाहे वह एक लूप हो या अराजकता—केवल समीकरणों द्वारा ही निर्धारित होती है।
निष्कर्ष बताते हैं कि इन जटिल प्रणालियों को समझने के लिए एक नया नियम है: स्थानीय व्यवहार, जैसे कि एक विश्राम बिंदु की स्थिरता, मजबूत होते हैं और घड़ी बदलने पर नहीं बदलते, लेकिन वैश्विक व्यवहार, जैसे कि व्यवस्था से अराजकता की ओर संक्रमण, घड़ी की शक्ति के साथ रैखिक रूप से बदलते हैं। इसका अर्थ यह है कि एक फ्रैक्शनल प्रणाली की "अराजकता" स्वयं प्रणाली का अंतर्निहित गुण नहीं है, बल्कि प्रणाली और उसके भीतर समय को मापने के विशिष्ट तरीके का एक संयुक्त गुण है। कांच या जैविक ऊतकों जैसी सामग्रियों का मॉडलिंग करने वाले वैज्ञानिकों के लिए, इसका तात्पर्य यह है कि गणितीय सूत्रीकरण में किया गया एक चुनाव—चाहे स्मृति को भौतिक समय में संचित माना जाए या एक आंतरिक सामग्री समय में—केवल एक संकेत मात्र नहीं है। यह दो अलग-अलग भौतिक मॉडलों के बीच का चुनाव है जो प्रणाली के व्यवहार के बारे में अलग-अलग भविष्यवाणियां कर सकते हैं। अध्ययन यह निष्कर्ष निकालता है कि एक फ्रैक्शनल प्रणाली का चित्रण करते समय, आपको हमेशा उपयोग की जाने वाली घड़ी को निर्दिष्ट करना चाहिए, क्योंकि घड़ी मॉडल का एक हिस्सा है, और इसके बिना, चित्र अधूरा है।
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