Chaos is not an invariant of fractional-order systems: the clock shapes orbits, attractors and bifurcations
이 논문은 정수 차수 시스템과 달리, 분수 차수 동역학계는 상태 의존적 시간 재매개변수화(시계)에 대해 불변하지 않음을 입증하며, 이는 궤도 기하학을 근본적으로 변화시키고 국소적 안정성을 변화시키지 않고도 카오스를 유발할 수 있다는 성질을 통해, 분수 차수 어트랙터가 계와 그 특정한 시간 법칙 모두의 고유한 속성임을 확립한다.
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사물이 시간에 따라 어떻게 움직이고 변화하는지를 연구하는 과정에서, 과학자들은 종종 단순하고도 위안이 되는 아이디어에 의존한다. 그것은 바로 물체가 궤적을 따라가는 경로는 그 물체에 작용하는 힘에 의해 결정되는 반면, 그 경로를 따라 이동하는 속도는 우리가 사용하는 시계의 문제일 뿐이라는 생각이다. 강물이 바위 주변을 흘러가는 모습을 상상해 보라. 물의 경로 모양은 바위와 강바닥에 의해 고정되어 있다. 만약 당신이 물의 속도를 높이거나 특정 지점에서 느리게 한다 하더라도, 물은 여전히 정확히 동일한 곡선을 따라 흐를 것이며, 단지 그곳에 더 빨리 혹은 더 느리게 도착할 뿐이다. 수 세기 동안 이 원리는 물리학과 수학의 초석이었으며, 연구자들이 운동의 순수한 기하학적 구조를 이해하기 위해 시간의 세부 사항을 제거할 수 있게 해주었다. 이 논리는 변화의 규칙이 일반적인 변화율에 기반하는 표준 시스템에서는 유효하다. 그러나 고분자가 늘어나는 방식이나 화학 물질이 막을 통해 확산되는 방식처럼, 많은 자연계의 시스템은 이러한 단순한 규칙을 따르지 않는다. 대신, 이들은 현재의 행동이 과거 전체의 이력에 의존하며, 최근의 사건일수록 먼 과거보다 더 큰 비중을 두는 일종의 '기억'을 가지고 있다. 이들은 분수 차수(fractional-order) 시스템으로 알려져 있다. 수십 년 동안 과학자들은 이들에게도 동일한 오랜 논리를 적용하여, 프로세스의 속도를 변화시키는 것이 시스템이 그리는 경로의 모양을 바꾸지는 않을 것이라고 가정해 왔다.
새로운 한 연구는 이러한 오래된 가설에 도전하며, 기억을 가진 시스템에서 시계는 단순히 수동적인 관찰자가 아니라 현실을 형성하는 능동적인 조각가임을 밝혀냈다. 이 기억 기반 시스템의 수학적 모델을 다룬 연구자는, 시스템의 상태에 따라 변하는 함수를 사용하여 방정식을 곱하는 것, 즉 본질적으로 가변적인 시계로 시스템을 구동하는 것이 단순히 운동의 속도만을 바꾸는 것이 아님을 발견했다. 그것은 경로 자체를 근본적으로 왜곡시킨다. 표준 시스템에서는 특정 상태에 있을 때 흐름을 가속하더라도 궤적이 동일하게 유지된다. 그러나 분수 시스템에서는 이러한 속도의 변화가 궤적을 완전히 다른 모양으로 휘게 하고 뒤틀리게 만든다. 이 연구는 이러한 왜곡이 무작위적인 오류가 아니라, 시스템이 과거를 얼마나 강하게 기억하는지를 설명하는 수치인 특정 '차수'에 의해 지배되는 예측 가능한 효과임을 증명한다.
연구자는 동일한 수학적 모델의 두 버전을 비교함으로써 이를 입증했다. 하나는 일정한 속도로 구동되는 버전이고, 다른 하나는 시스템의 현재 위치에 따라 속도가 변하는 버전이다. 표준 정수 차수의 경우, 두 경로는 완벽하게 겹쳤다. 그러나 분수 차수의 경우, 두 경로는 서로 갈라졌다. 이 차이는 시간 법칙이 얼마나 변하는지와 궤도의 기하학적 구조가 얼마나 왜곡되는지를 설명하는 두 가지 특정 수학적 함수를 사용하여 측정되었다. 이 함수들은 시스템에 기억이 전혀 없을 때만 소멸하며, 이는 이 효과가 기억 그 자체의 직접적인 결과임을 확인시켜 준다. 연구는 정지점의 안정성은 시계와 상관없이 변하지 않지만, 리미트 사이클(limit cycle)의 루프나 카오스적 끌개(chaotic attractor)의 복잡한 형태와 같은 시스템의 전역적 구조는 시간이 어떻게 측정되는지에 매우 민들이 민감하다는 것을 보여주었다.
연구자는 이 발견의 실제 세계적 영향을 테스트하기 위해 진동하는 동작을 설명하는 데 사용되는 몇몇 유명한 수학적 모델에 이 이론을 적용했다. 진동 시스템으로 알려진 반 데르 폴(van der Pol) 진동자의 분수 버전의 경우, 위치에 따라 속도가 빨라지거나 느려지는 시계로 구동되었다. 그 결과, 일정한 시계에 의해 생성된 것과 비교했을 때 크기와 모양이 눈에 띄게 다른 리미트 사이클이 나타났으며, 진폭의 차이는 최대 16%에 달했다. 카오스를 연구하는 데 자주 사용되는 모델인 첸(Chen) 시스템을 이용한 더 극적인 테스트에서, 연구자는 동일한 지점에서 시작하고 동일한 매개변수를 사용하더라도 시계를 바꿈으로써 시스템을 완전히 두 가지 다른 방식으로 행동하게 만들 수 있음을 발견했다. 일정한 시계를 사용했을 때 시스템은 예측 가능한 반복 루프에 안착했다. 그러나 온도와 유사한 변수에 따라 변하는 시계를 사용했을 때, 동일한 시스템은 혼돈 속으로 빠져들어 예측 불가능하고 거친 경로를 추적했다. 이는 시스템의 본질(루프인지 카오스인지)이 방정식 자체에 의해 고정되어 있는 표준 시스템에서는 불가능한 현상이다.
이러한 발견은 복잡한 시스템을 이해하기 위한 새로운 규칙을 제시한다. 즉, 정지점의 안정성과 같은 국소적 행동은 견고하며 시계가 변해도 움직이지 않지만, 카오스로의 전이와 같은 전역적 행동은 시계의 강도에 따라 선형적으로 변화한다는 것이다. 이는 분수 시스템의 '카오스'가 시스템 자체의 고유한 속성이 아니라, 시스템과 시간이 측정되는 특정한 방식이 결합된 속성임을 의미한다. 유리나 생체 조직 같은 재료를 모델링하는 과학자들에게 이는 수학적 공식화에서의 선택, 즉 기억이 물리적 시간에 축적되는 것으로 취급할 것인지 아니면 고유한 재료 시간 내에 축적되는 것으로 취급할 것인지의 문제가 단순한 표기법의 문제가 아님을 시사한다. 그것은 시스템의 행동에 대해 서로 다른 예측을 낳을 수 있는 두 가지 서로 다른 물리적 모델 사이의 선택이다. 연구는 결론적으로, 분수 시스템의 초상화를 그릴 때 시계는 모델의 일부이므로 반드시 사용된 시계를 명시해야 하며, 시계 없이는 그 그림은 불완전하다고 말한다.
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