Arithmetic level raising for certain quaternionic unitary Shimura variety

Titolo: Innalzamento aritmetico del livello su certe varietà di Shimura unitarie quaternioniche
Autore: Haining Wang

1. Enunciato del Problema e Contesto

Il lavoro affronta il problema di stabilire un teorema di innalzamento aritmetico del livello per il gruppo simplettico di grado quattro, $GSp_4$, nel caso ramificato. Questo lavoro si inserisce nel quadro più ampio della congettura di Beilinson–Bloch–Kato (BBK) per i motivi di Rankin–Selberg associati ai gruppi ortogonali, specificamente nel contesto della congettura di Gan–Gross–Prasad (GGP).

Mentre i teoremi di innalzamento del livello sono ben compresi per $GL_2$ (grazie al lavoro di Ribet) e sono stati estesi a certe varietà di Shimura unitarie (ad esempio, da Liu, Taylor e altri), estendere questi risultati a gruppi di rango superiore come $GSp_4$ presenta sfide geometriche e di teoria delle rappresentazioni significative. Nello specifico, l'autore intende dimostrare che se una rappresentazione automorfa cuspidale $\pi$ di $GSp_4(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ soddisfa condizioni di congruenza specifiche in un primo $p$ (la "condizione di innalzamento del livello"), è possibile costruire una nuova rappresentazione automorfa $\Pi$ di livello superiore (ramificata in $p$) che condivide la stessa rappresentazione di Galois residua.

2. Metodologia

La dimostrazione si basa su una combinazione di geometria aritmetica, teoria delle varietà di Shimura e corrispondenza di Jacquet–Langlands. La metodologia fondamentale comprende:

• Impostazione Geometrica: L'autore utilizza una varietà di Shimura unitaria quaternionica $Sh(B, K_{Pa})$ di dimensione 3, associata a un'algebra di quaternioni indefinita $B$ ramificata in $p$ e in un altro primo $q$. Il modello intero di questa varietà, $X_{Pa}(B)$, presenta singolarità quadratiche ordinarie isolate nella sua fibra speciale.
• Analisi del Luogo Supersingolare: Un passo critico è la descrizione dettagliata del luogo supersingolare della fibra speciale. L'autore impiega il teorema di uniformizzazione di Rapoport–Zink per relazionare questo luogo a uno spazio di Rapoport–Zink. La struttura di questo luogo è analizzata utilizzando la stratificazione di Bruhat–Tits, mostrando che le sue componenti irriducibili sono parametrize da insiemi di Shimura (gruppi unitari quaternionici definiti) e sono isomorfe a varietà di Deligne–Lusztig.
• Monodromia e Cohomologia: La dimostrazione fa ampio uso della formula di Picard–Lefschetz per calcolare l'azione della monodromia sulla coomologia della fibra speciale. L'autore affina questa formula per identificare i pezzi graduati della filtrazione di monodromia con specifici gruppi di coomologia d'intersezione. Ciò permette il calcolo dell'azione dell'operatore di monodromia $N$ sulla coomologia dei cicli vicini.
• Matrici di Innalzamento del Livello: L'autore costruisce una matrice di innalzamento del livello ($T_{lr}$) e una matrice supersingolare ($T_{ss}$). Queste matrici mettono in relazione la coomologia della varietà di Shimura con la coomologia del luogo supersingolare (che corrisponde all'insieme di Shimura). Gli elementi di queste matrici sono calcolati utilizzando operatori di Hecke e numeri di intersezione sulle fibre singolari.
• Teoria delle Deformazioni di Galois: Per gestire problemi di torsione e stabilire risultati di libertà, il lavoro impiega tecniche dalle anelli di deformazione di Galois (seguendo il lavoro di Taylor–Wiles e i recenti avanzamenti di LTXZZ). Questo viene utilizzato per dimostrare che i gruppi di coomologia pertinenti sono liberi sugli anelli di deformazione universali, il che è essenziale per dedurre l'esistenza della forma con livello innalzato.

3. Contributi e Risultati Chiave

A. Teorema di Innalzamento Aritmetico del Livello per $GSp_4$ (Teorema 1.4 e 9.4)
Il risultato principale stabilisce un isomorfismo tra un quoziente singolare della coomologia di Galois dei cicli vicini della varietà di Shimura e la coomologia di un insieme di Shimura (le forme "vecchie"):
$$H^1_{sing}(\mathbb{Q}_{p^2}, H^3_c(Sh(B, K_{Pa}), \mathcal{O}_\lambda/\lambda^m(2))_{\mathfrak{m}}) \xrightarrow{\sim} \mathcal{O}_\lambda/\lambda^m[Sh(B, K_H)]_{\mathfrak{m}}$$
Qui, $\mathfrak{m}$ è un ideale massimale corrispondente a una rappresentazione di Galois residua $\rho_{\pi, \lambda}$. Questo isomorfismo funge da analogo del lemma di Ihara per varietà di Shimura con riduzione cattiva.

B. Innalzamento del Livello per Rappresentazioni Automorfe (Teorema 1.6 e 9.11)
Come applicazione diretta, il lavoro dimostra che se $\pi$ è una rappresentazione automorfa cuspidale di $GSp_4(\mathbb{A})$ di "tipo generale" (non endoscopica, non CAP) che soddisfa la condizione di innalzamento del livello in $p$, esiste una nuova rappresentazione automorfa $\Pi$ tale che:

1. $\Pi$ è anch'essa di tipo generale.
2. La componente locale $\Pi_p$ è di tipo IIa (una rappresentazione ramificata).
3. Le rappresentazioni di Galois residue sono isomorfe: $\rho_{\pi, \lambda} \cong \rho_{\Pi, \lambda}$.

C. Risultati Geometrici sui Luoghi Supersingolari

• L'autore dimostra che la coomologia d'intersezione della fibra speciale, localizzata in un ideale massimale generico, è generata da cicli di Tate provenienti dal luogo supersingolare (Teorema 1.5).
• Il lavoro stabilisce la congettura peso-monodromia per certi gruppi di coomologia interna della varietà di Shimura (Corollario 5.19).
• Viene mostrato che la coomologia della fibra speciale è priva di torsione dopo la localizzazione in un ideale massimale generico (Corollari 9.7, 9.8, 9.10), un risultato ottenuto adattando metodi dalla teoria delle deformazioni di Galois.

D. Calcoli Matriciali
Il lavoro fornisce calcoli espliciti della matrice di innalzamento del livello e della matrice supersingolare in termini di operatori di Hecke ($T_{p,0}, T_{p,1}, T_{p,2}$) e dei loro determinanti. Questi calcoli sono cruciali per verificare che le mappe pertinenti siano isomorfismi sotto le condizioni generiche di innalzamento del livello.

4. Significato e Affermazioni

Il lavoro afferma che questo risultato è un passo chiave verso la congettura di Beilinson–Bloch–Kato per certi motivi di Rankin–Selberg associati a gruppi ortogonali ($SO_4 \times SO_5$) all'interno del quadro GGP.

• Analogia del Lemma di Ihara: Il teorema principale è presentato come un analogo di rango superiore del lemma di Ihara per curve di Shimura ramificate in $p$, estendendo la portata delle tecniche di innalzamento del livello oltre $GL_2$ e i gruppi unitari.
• Ponte verso BBK: L'autore nota che in un seguito, questo risultato sarà utilizzato per dimostrare che la non nullità di certi integrali di periodo implica la nullità di specifici gruppi di Selmer di Bloch–Kato, stabilendo così una direzione della congettura BBK nei casi di rango 0 e rango 1.
• Abbassamento del Livello: I risultati sono anche destinati a facilitare la dimostrazione di teoremi di abbassamento del livello per $GSp_4$ (come riferito nell'articolo gemello [Wang22b]), che è un componente necessario per la piena congettura aritmetica GGP.

L'autore dichiara esplicitamente che la restrizione a $GSp_4$ su $\mathbb{Q}$ (piuttosto che su un campo totalmente reale) è dovuta alle attuali limitazioni del teorema di uniformizzazione di Rapoport–Zink per le specifiche varietà di Shimura studiate, sebbene l'autore ritenga che la descrizione geometrica del luogo supersingolare si generalizzerebbe. Il lavoro non afferma di risolvere la congettura BBK completa, ma fornisce piuttosto la necessaria macchina di innalzamento aritmetico del livello per attaccare casi specifici.