Arithmetic level raising for certain quaternionic unitary Shimura variety

Titre : Rehaussement de niveau arithmétique sur certaines variétés de Shimura unitaires quaternioniques
Auteur : Haining Wang

1. Énoncé du problème et contexte

L'article traite du problème de l'établissement d'un théorème de rehaussement de niveau arithmétique pour le groupe symplectique de degré quatre, $GSp_4$, dans le cas ramifié. Ce travail s'inscrit dans le cadre plus large de la conjecture de Beilinson–Bloch–Kato (BBK) pour les motifs de Rankin–Selberg associés aux groupes orthogonaux, spécifiquement dans le contexte de la conjecture de Gan–Gross–Prasad (GGP).

Bien que les théorèmes de rehaussement de niveau soient bien compris pour $GL_2$ (via les travaux de Ribet) et aient été étendus à certaines variétés de Shimura unitaires (par exemple, par Liu, Taylor et d'autres), l'extension de ces résultats à des groupes de rang supérieur comme $GSp_4$ présente des défis géométriques et de théorie des représentations significatifs. Plus précisément, l'auteur vise à prouver que si une représentation automorphe cuspidale $\pi$ de $GSp_4(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ satisfait des conditions de congruence spécifiques en un nombre premier $p$ (la « condition de rehaussement de niveau »), on peut construire une nouvelle représentation automorphe $\Pi$ de niveau supérieur (ramifiée en $p$) qui partage la même représentation galoisienne résiduelle.

2. Méthodologie

La preuve repose sur une combinaison de géométrie arithmétique, de la théorie des variétés de Shimura et de la correspondance de Jacquet–Langlands. La méthodologie centrale comprend :

• Cadre géométrique : L'auteur utilise une variété de Shimura unitaire quaternionique $Sh(B, K_{Pa})$ de dimension 3, associée à une algèbre de quaternions indéfinie $B$ ramifiée en $p$ et en un autre nombre premier $q$. Le modèle entier de cette variété, $X_{Pa}(B)$, présente des singularités quadratiques ordinaires isolées dans sa fibre spéciale.
• Analyse du lieu supersingulier : Une étape critique est la description détaillée du lieu supersingulier de la fibre spéciale. L'auteur emploie le théorème d'uniformisation de Rapoport–Zink pour relier ce lieu à un espace de Rapoport–Zink. La structure de ce lieu est analysée en utilisant la stratification de Bruhat–Tits, montrant que ses composantes irréductibles sont paramétrées par des ensembles de Shimura (groupes unitaires quaternioniques définis) et sont isomorphes à des variétés de Deligne–Lusztig.
• Monodromie et cohomologie : La preuve utilise abondamment la formule de Picard–Lefschetz pour calculer l'action de monodromie sur la cohomologie de la fibre spéciale. L'auteur affine cette formule pour identifier les pièces graduées de la filtration de monodromie avec des groupes spécifiques de cohomologie d'intersection. Cela permet de calculer l'action de l'opérateur de monodromie $N$ sur la cohomologie des cycles proches.
• Matrices de rehaussement de niveau : L'auteur construit une matrice de rehaussement de niveau ($T_{lr}$) et une matrice supersingulière ($T_{ss}$). Ces matrices relient la cohomologie de la variété de Shimura à la cohomologie du lieu supersingulier (qui correspond à l'ensemble de Shimura). Les entrées de ces matrices sont calculées en utilisant des opérateurs de Hecke et des nombres d'intersection sur les fibres singulières.
• Théorie des déformations galoisiennes : Pour traiter les problèmes de torsion et établir des résultats de liberté, l'article emploie des techniques issues des anneaux de déformation galoisienne (suivant les travaux de Taylor–Wiles et les avancées récentes de LTXZZ). Cela sert à prouver que les groupes de cohomologie pertinents sont libres sur les anneaux de déformation universels, ce qui est essentiel pour déduire l'existence de la forme rehaussée en niveau.

3. Contributions et résultats clés

A. Théorème de rehaussement de niveau arithmétique pour $GSp_4$ (Théorèmes 1.4 et 9.4)
Le résultat principal établit un isomorphisme entre un quotient singulier de la cohomologie galoisienne des cycles proches de la variété de Shimura et la cohomologie d'un ensemble de Shimura (les formes « anciennes ») :
$$H^1_{sing}(\mathbb{Q}_{p^2}, H^3_c(Sh(B, K_{Pa}), \mathcal{O}_\lambda/\lambda^m(2))_{\mathfrak{m}}) \xrightarrow{\sim} \mathcal{O}_\lambda/\lambda^m[Sh(B, K_H)]_{\mathfrak{m}}$$
Ici, $\mathfrak{m}$ est un idéal maximal correspondant à une représentation galoisienne résiduelle $\rho_{\pi, \lambda}$. Cet isomorphisme sert d'analogue au lemme d'Ihara pour les variétés de Shimura à réduction mauvaise.

B. Rehaussement de niveau pour les représentations automorphes (Théorèmes 1.6 et 9.11)
Comme application directe, l'article prouve que si $\pi$ est une représentation automorphe cuspidale de $GSp_4(\mathbb{A})$ de « type général » (non endoscopique, non CAP) satisfaisant la condition de rehaussement de niveau en $p$, il existe une nouvelle représentation automorphe $\Pi$ telle que :

1. $\Pi$ est également de type général.
2. La composante locale $\Pi_p$ est de type IIa (une représentation ramifiée).
3. Les représentations galoisiennes résiduelles sont isomorphes : $\rho_{\pi, \lambda} \cong \rho_{\Pi, \lambda}$.

C. Résultats géométriques sur les lieux supersinguliers

• L'auteur prouve que la cohomologie d'intersection de la fibre spéciale, localisée en un idéal maximal générique, est engendrée par des cycles de Tate provenant du lieu supersingulier (Théorème 1.5).
• L'article établit la conjecture poids-monodromie pour certains groupes de cohomologie intérieure de la variété de Shimura (Corollaire 5.19).
• Il est démontré que la cohomologie de la fibre spéciale est sans torsion après localisation en un idéal maximal générique (Corollaires 9.7, 9.8, 9.10), un résultat obtenu en adaptant des méthodes de la théorie des déformations galoisiennes.

D. Calculs matriciels
L'article fournit des calculs explicites de la matrice de rehaussement de niveau et de la matrice supersingulière en termes d'opérateurs de Hecke ($T_{p,0}, T_{p,1}, T_{p,2}$) et de leurs déterminants. Ces calculs sont cruciaux pour vérifier que les applications pertinentes sont des isomorphismes sous les conditions de rehaussement de niveau génériques.

4. Importance et affirmations

L'article affirme que ce résultat est une étape clé vers la conjecture de Beilinson–Bloch–Kato pour certains motifs de Rankin–Selberg associés aux groupes orthogonaux ($SO_4 \times SO_5$) dans le cadre GGP.

• Analogue du lemme d'Ihara : Le théorème principal est présenté comme un analogue de rang supérieur du lemme d'Ihara pour les courbes de Shimura ramifiées en $p$, étendant la portée des techniques de rehaussement de niveau au-delà de $GL_2$ et des groupes unitaires.
• Lien vers BBK : L'auteur note que dans un article de suite, ce résultat sera utilisé pour montrer que la non-annulation de certaines intégrales de périodes implique l'annulation de groupes de Selmer de Bloch–Kato spécifiques, établissant ainsi une direction de la conjecture BBK dans les cas de rang 0 et de rang 1.
• Abaissement de niveau : Les résultats visent également à faciliter la preuve de théorèmes d'abaissement de niveau pour $GSp_4$ (comme référencé dans l'article compagnon [Wang22b]), qui est un composant nécessaire pour la conjecture GGP arithmétique complète.

L'auteur déclare explicitement que la restriction à $GSp_4$ sur $\mathbb{Q}$ (plutôt que sur un corps totalement réel) est due aux limitations actuelles du théorème d'uniformisation de Rapoport–Zink pour les variétés de Shimura spécifiques étudiées, bien que l'auteur estime que la description géométrique du lieu supersingulier se généraliserait. L'article ne prétend pas résoudre la conjecture BBK complète, mais fournit plutôt la machinerie de rehaussement de niveau arithmétique nécessaire pour attaquer des cas spécifiques.