Degenerate stability of critical points of the Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequality along the Felli-Schneider curve

Enunciato del Problema
Questo articolo investiga la stabilità quantitativa dell'equazione critica di Hardy-Hénon, che funge da equazione di Euler-Lagrange per la classica disuguaglianza di Caffarelli-Kohn-Nirenberg (CKN). Nello specifico, gli autori si concentrano sul regime in cui i parametri $(a, b)$ giacciono esattamente sulla curva di Felli-Schneider ($b = b_{FS}(a)$ con $a < 0$).

In questo scenario, l'equazione è nota per essere degenerata. A differenza dei casi non degeneri (dove $a \ge 0$ o $b > b_{FS}(a)$), l'operatore linearizzato attorno a un bubble di Talenti (la soluzione positiva) possiede un kernel non banale oltre le standard invarianze per scala e traslazione. Il lavoro precedente di Wei e Wu ha stabilito stime di stabilità quantitativa ottimali per il caso non degenere, basandosi fortemente sulla condizione di non degenerazione. Tuttavia, tali risultati falliscono sulla curva di Felli-Schneider perché la degenerazione impedisce il mantenimento delle standard stime lineari. Il problema centrale affrontato è se esista una stima di stabilità quantitativa adeguata in questo setting degenere e, in caso affermativo, quale sia la forma ottimale della funzione di stabilità $F$.

Metodologia
Gli autori impiegano un approccio analitico multi-step:

1. Trasformazione di Emden-Fowler: Il problema viene riformulato dallo spazio euclideo $\mathbb{R}^n$ al cilindro $\mathcal{C} = \mathbb{R} \times S^{n-1}$. Questa trasformazione converte la disuguaglianza CKN pesata e l'equazione di Hardy-Hénon in una disuguaglianza di interpolazione di Gagliardo-Nirenberg e in una corrispondente equazione ellittica semilineare a coefficienti costanti sul cilindro. Ciò semplifica l'analisi spettrale e la gestione delle funzioni peso.
2. Strategia Local-to-Global: Seguendo il principio di compattezza globale, gli autori riducono il problema globale di stabilità a uno locale. Dimostrano che se una funzione è sufficientemente vicina a una somma di bubble di Talenti, la stima di stabilità è valida localmente; il risultato globale segue combinando ciò con il principio di compattezza.
3. Tecniche di Espansione di Ordine Superiore: Per gestire la degenerazione, gli autori non possono fare affidamento su espansioni del secondo ordine (sufficienti nei casi non degeneri). Invece, utilizzano tecniche di espansione di ordine superiore (fino al quarto ordine) per i termini non lineari. Ciò comporta la divisione del dominio di integrazione e la stima attenta dei termini di resto utilizzando disuguaglianze specifiche per la funzione $|x+y|^{p-2}(x+y)$.
4. Analisi Spettrale e Proiezioni Ortogonali: L'analisi comporta la decomposizione della perturbazione della soluzione in componenti parallele e ortogonali al kernel dell'operatore linearizzato (denotato come $X$ o $Y$ nel setting cilindrico). Gli autori derivano stime per la componente ortogonale e analizzano l'interazione tra le direzioni degenerate e i termini non lineari.
5. Costruzione di Controesempi/Ottimalità: Per provare la precisione delle loro stime, gli autori costruiscono sequenze specifiche di funzioni. Questa costruzione è tecnica; essa prevede la perturbazione di candidati naturali con soluzioni di particolari equazioni di Schrödinger per ottenere la desiderata scalatura cubica (o di ordine superiore), piuttosto che la scalatura quadratica che produrrebbero perturbazioni più semplici.

Contributi Chiave e Risultati

• Stabilità Ottimale per Singolo Bubble ($\nu=1$): Per il caso di un singolo bubble ($\nu=1$), gli autori stabiliscono una stima di stabilità cubica netta:
  $$\inf_{\lambda > 0} \|u - U_\lambda\|_{D^{1,2}_a}^3 \le C \|H(u)\|_{D^{-1,2}_a}$$
  Dimostrano che questa stima è ottimale costruendo una sequenza in cui il rapporto tra l'errore e la potenza cubica della distanza rimane limitato. Inoltre, forniscono una stima raffinata per la componente ortogonale della soluzione, mostrando che se la soluzione "non è troppo degenera" (soddisfacendo una specifica condizione che mette in relazione le componenti ortogonale e degenera), una stima lineare vale per la parte ortogonale.

• Stabilità per Multipli Bubble ($\nu \ge 2$): Per il caso di multipli bubble ($\nu \ge 2$), gli autori derivano una stima di stabilità per la componente ortogonale della soluzione, a condizione che la soluzione non sia "troppo degenera". La stima assume la forma:
  $$\|\Pi^\perp_X(u) - \sum U_{\lambda_i}\| \le C F_1(\|H(u)\|)$$
  dove $F_1$ dipende dalla dimensione e dall'esponente $p$. La condizione "non troppo degenera" è necessaria, poiché gli autori dimostrano tramite un controesempio che, in assenza di essa, la stima di stabilità fallisce.

• Precisione e Ottimalità: Il lavoro affronta esplicitamente l'ottimalità degli esponenti derivati. Per $\nu=1$, la stima cubica è mostrata essere netta. Per $\nu \ge 2$, gli autori stabiliscono la validità della stima sotto la restrizione di non degenerazione e mostrano che tale restrizione è ottimale in certi regimi ($p \ge 3$ o $\nu \ge 2, p > 3$).

Significatività
Gli autori affermano che questo lavoro fornisce il primo esempio di risultati di stabilità degenera nel setting del punto critico per la disuguaglianza di Caffarelli-Kohn-Nirenberg. Precedentemente, i risultati di stabilità quantitativa dipendevano ampiamente da condizioni di non degenerazione. Navigando con successo attraverso la degenerazione sulla curva di Felli-Schneider, il lavoro estende la teoria della stabilità quantitativa a un caso limite critico dove i metodi precedenti erano falliti. Gli autori suggeriscono che i loro metodi, in particolare l'espansione di ordine superiore e la specifica costruzione di funzioni di test e sequenze di perturbazione, possano essere applicabili ad altri problemi che coinvolgono la stabilità degenera.

L'articolo conclude che, mentre la stabilità nel setting funzionale (stabilità della disuguaglianza) è stata studiata estensivamente, il setting del punto critico sulla curva di Felli-Schneider presenta sfide uniche a causa della mancanza di non degenerazione, che questo lavoro risolve per il caso del singolo bubble e parzialmente per il caso dei multipli bubble sotto specifiche condizioni.