Degenerate stability of critical points of the Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequality along the Felli-Schneider curve

Énoncé du Problème
Cet article étudie la stabilité quantitative de l'équation critique de Hardy-Hénon, qui sert d'équation d'Euler-Lagrange pour l'inégalité classique de Caffarelli-Kohn-Nirenberg (CKN). Plus précisément, les auteurs se concentrent sur le régime où les paramètres $(a, b)$ se situent exactement sur la courbe de Felli-Schneider ($b = b_{FS}(a)$ avec $a < 0$).

Dans ce cadre, l'équation est connue pour être dégénérée. Contrairement aux cas non dégénérés (où $a \ge 0$ ou $b > b_{FS}(a)$), l'opérateur linéarisé autour d'une bulle de Talenti (la solution positive) possède un noyau non trivial au-delà des invariances classiques par changement d'échelle et translation. Des travaux antérieurs de Wei et Wu ont établi des estimations de stabilité quantitative optimales pour le cas non dégénéré, en s'appuyant fortement sur la condition de non-dégénérescence. Cependant, ces résultats échouent sur la courbe de Felli-Schneider car la dégénérescence empêche les estimations linéaires standards de tenir. Le problème central abordé est de déterminer si une estimation de stabilité quantitative appropriée existe dans ce cadre dégénéré et, si oui, quelle est la forme optimale de la fonction de stabilité $F$.

Méthodologie
Les auteurs emploient une approche analytique en plusieurs étapes :

1. Transformation d'Emden-Fowler : Le problème est reformulé de l'espace euclidien $\mathbb{R}^n$ vers le cylindre $\mathcal{C} = \mathbb{R} \times S^{n-1}$. Cette transformation convertit l'inégalité CKN pondérée et l'équation de Hardy-Hénon en une inégalité d'interpolation de Gagliardo-Nirenberg et une équation elliptique semi-linéaire correspondante à coefficients constants sur le cylindre. Cela simplifie l'analyse spectrale et la gestion des fonctions de poids.
2. Stratégie Local-to-Global : En suivant le principe de compacité globale, les auteurs réduisent le problème de stabilité globale à un problème local. Ils prouvent que si une fonction est suffisamment proche d'une somme de bulles de Talenti, l'estimation de stabilité est vérifiée localement ; le résultat global découle alors de la combinaison de ce résultat avec le principe de compacité.
3. Techniques d'Expansion d'Ordre Supérieur : Pour traiter la dégénérescence, les auteurs ne peuvent pas se reposer sur des expansions de second ordre (suffisantes dans les cas non dégénérés). Au lieu de cela, ils utilisent des techniques d'expansion d'ordre supérieur (jusqu'au quatrième ordre) pour les termes non linéaires. Cela implique de diviser le domaine d'intégration et d'estimer soigneusement les termes de reste en utilisant des inégalités spécifiques pour la fonction $|x+y|^{p-2}(x+y)$.
4. Analyse Spectrale et Projections Orthogonales : L'analyse implique de décomposer la perturbation de la solution en composantes parallèles et orthogonales au noyau de l'opérateur linéarisé (noté $X$ ou $Y$ dans le cadre du cylindre). Les auteurs dérivent des estimations pour la composante orthogonale et analysent l'interaction entre les directions dégénérées et les termes non linéaires.
5. Construction de Contre-exemples/Optimalité : Pour prouver la finesse de leurs estimations, les auteurs construisent des séquences de fonctions spécifiques. Cette construction est technique ; elle consiste à perturber des candidats naturels avec des solutions d'équations de Schrödinger spéciales afin d'obtenir l'échelle cubique (ou d'ordre supérieur) souhaitée, plutôt que l'échelle quadratique que produiraient des perturbations plus simples.

Contributions Clés et Résultats

• Stabilité Optimale pour une Bulle Unique ($\nu=1$) : Pour le cas d'une bulle unique ($\nu=1$), les auteurs établissent une estimation de stabilité cubique exacte :
  $$\inf_{\lambda > 0} \|u - U_\lambda\|_{D^{1,2}_a}^3 \le C \|H(u)\|_{D^{-1,2}_a}$$
  Ils prouvent que cette estimation est optimale en construisant une séquence où le rapport entre l'erreur et la puissance cubique de la distance reste borné. De plus, ils fournissent une estimation raffinée pour la composante orthogonale de la solution, montrant que si la solution n'est "pas trop dégénérée" (satisfaisant une condition spécifique reliant les composantes orthogonale et dégénérée), une estimation linéaire est vérifiée pour la partie orthogonale.

• Stabilité pour des Bulles Multiples ($\nu \ge 2$) : Pour le cas de bulles multiples ($\nu \ge 2$), les auteurs dérivent une estimation de stabilité pour la composante orthogonale de la solution, à condition que la solution ne soit pas "trop dégénérée". L'estimation prend la forme :
  $$\|\Pi^\perp_X(u) - \sum U_{\lambda_i}\| \le C F_1(\|H(u)\|)$$
  où $F_1$ dépend de la dimension et de l'exposant $p$. La condition "pas trop dégénérée" est nécessaire, car les auteurs démontrent via un contre-exemple que sans elle, l'estimation de stabilité échoue.

• Finesse et Optimalité : L'article traite explicitement de l'optimalité des exposants dérivés. Pour $\nu=1$, l'estimation cubique est montrée comme étant exacte. Pour $\nu \ge 2$, les auteurs établissent la validité de l'estimation sous la restriction de non-dégénérescence et montrent que cette restriction est optimale dans certains régimes ($p \ge 3$ ou $\nu \ge 2, p > 3$).

Signification
Les auteurs affirment que ce travail constitue la première occurrence de résultats de stabilité dégénérée dans le cadre des points critiques pour l'inégalité de Caffarelli-Kohn-Nirenberg. Auparavant, les résultats de stabilité quantitative dépendaient largement de conditions de non-dégénérescence. En naviguant avec succès à travers la dégénérescence sur la courbe de Felli-Schneider, l'article étend la théorie de la stabilité quantitative à un cas limite critique où les méthodes précédentes avaient échoué. Les auteurs suggèrent que leurs méthodes, particulièrement l'expansion d'ordre supérieur et la construction spécifique de fonctions de test et de séquences de perturbation, pourraient être applicables à d'autres problèmes impliquant une stabilité dégénérée.

L'article conclut que bien que la stabilité dans le cadre fonctionnel (stabilité de l'inégalité) ait été étudiée de manière extensive, le cadre des points critiques sur la courbe de Felli-Schneider présente des défis uniques dus à l'absence de non-dégénérescence, ce que ce travail résout pour le cas de la bulle unique et partiellement pour le cas multi-bulles sous certaines conditions.