Including the magnitude variability of a signal into the ordinal pattern analysis

Sintesi Tecnica: Inclusione della Variabilità dell'Ampiezza di un Segnale nell'Analisi dei Pattern Ordinali

Problema
L'analisi dei Pattern Ordinali (OP) è un metodo ampiamente utilizzato per caratterizzare i segnali trasformandoli in sequenze simboliche basate sull'ordine relativo delle magnitudo del segnale all'interno di vettori incorporati (embedded vectors). Sebbene l'analisi OP sia concettualmente chiara, robusta al rumore ed efficace per segnali brevi, possiede un limite significativo: il processo di codifica scarta la magnitudo effettiva del segnale in ogni istante temporale, mantenendo solo le relazioni ordinali. Di conseguenza, l'informazione relativa alla variabilità dell'ampiezza del segnale viene persa. Gli autori osservano che, sebbene l'entropia di permutazione (una quantificazione statistica della sequenza OP) sia utile, essa può essere insufficiente per caratterizzare pienamente sistemi dinamici complessi, particolarmente in quelli ad alta dimensionalità dove la relazione tra l'entropia di permutazione e l'entropia di Kolmogorov-Sinai non è così diretta come nelle mappature monodimensionali.

Metodologia
Gli autori propongono un approccio complementare che integra la deviazione standard delle magnitudo del segnale all'interno dei vettori incorporati nel framework dell'analisi OP. La metodologia prevede i seguenti passaggi:

1. Codifica del Segnale: Seguendo il metodo di Bandt-Pompe, i segnali univariati vengono divisi in vettori incorporati di dimensione $D$. Ogni vettore viene trasformato in un Pattern Ordinale (OP) basato sul numero di permutazioni necessarie per ordinare i suoi elementi.
2. Calcolo dell'Entropia: Gli autori calcolano l'entropia minima di Rényi ($H_\infty$) della sequenza OP risultante. Questa metrica quantifica il contenuto informativo medio (incertezza) della sequenza simbolica.
3. Quantificazione della Variabilità della Magnitudo: Per ogni simbolo OP unico $\alpha$, gli autori calcolano la deviazione standard ($\sigma_j$) delle magnitudo del segnale alla $j$-esima componente di tutti i vettori incorporati corrispondenti a quel simbolo. Calcolano quindi la media ponderata per probabilità del logaritmo di queste deviazioni standard, denotata come $\langle \log_2 [\sigma_j] \rangle$.
4. Analisi Combinata: La caratterizzazione del segnale viene eseguita tracciando l'entropia di permutazione ($H_\infty$) rispetto alla variabilità media della magnitudo ($\text{avg}_j\{\langle \log_2 [\sigma_j] \rangle\}$).

Lo studio valida questo approccio utilizzando tre dataset distinti:

• Modelli Sintetici: Traiettorie da mappe logistiche identiche accoppiate e dalla mappa di Hénon, analizzate sotto vari parametri di controllo e intensità di accoppiamento. Sono state testate sia condizioni prive di rumore che con rumore (rumore bianco gaussiano).
• Dati Sperimentali: Registrazioni elettroencefalografiche (EEG) intracraniche da 11 ratti Wistar in movimento libero, che coprono tre stati di sonno-veglia: Veglia Attiva (AW), Sonno REM e Sonno NREM.

Contributi Chiave

• Integrazione di una Nuova Metrica: Il documento introduce un metodo per trattenere l'informazione sulla magnitudo scartata dalla codifica OP standard, utilizzando la deviazione standard delle magnitudo del segnale come variabile complementare all'entropia di permutazione.
• Giustificazione Teorica: L'approccio si fonda sul lavoro di Politi, il quale suggerisce che il logaritmo della deviazione standard delle magnitudo del segnale sia necessario, insieme alla dimensione dell'informazione, affinché l'entropia di permutazione converga all'entropia di Kolmogorov-Sinai.
• Differenziazione Migliorata: Lo studio dimostra che combinare l'entropia con la variabilità della magnitudo fornisce una caratterizzazione dei comportamenti dinamici più robusta rispetto all'uso della sola entropia di permutazione.

Risultati

• Mappe Sintetiche: Nell'analisi di mappe logistiche e di Hénon accoppiate, gli autori hanno osservato che regimi dinamici distinti producevano spesso valori simili di entropia di permutazione ($H_\infty$) ma valori di variabilità della magnitudo drasticamente diversi. Ad esempio, nelle mappe logistiche accoppiate, diversi parametri di controllo ($r$) producevano valori di $H_\infty$ simili (es. ~1.92 vs 1.95 bit) ma valori di variabilità della magnitudo differenti di un ordine di grandezza. Al contrario, alcuni regimi mostravano differenze significative di entropia ma variabilità simile. Il grafico 2D combinato di $H_\infty$ vs variabilità ha permesso una separazione più chiara di questi regimi rispetto all'uso di una singola metrica.
• Robustezza al Rumore: La metrica della variabilità della magnitudo ha seguito un comportamento a legge di potenza in funzione della dimensione di embedding e della forza del rumore, aiutando nella distinzione tra segnali caotici e stocastici anche sotto significativo rumore di osservazione.
• Analisi EEG: Applicata ai dati EEG di ratti, l'entropia di permutazione ($H_\infty$) ha distinto con successo la Veglia Attiva (entropia più alta) dagli stati di sonno. Tuttavia, non è riuscita a differenziare significativamente tra il sonno REM e quello NREM, poiché i loro valori di entropia erano simili. Al contrario, la metrica della variabilità della magnitudo ha mostrato una differenza di circa un ordine di grandezza tra gli stati REM e NREM nella maggior parte degli elettrodi. Ciò è coerente con le caratteristiche fisiologiche di questi stati (onde rapide a bassa tensione nel REM rispetto alle onde lente ad alta tensione nel NREM). L'uso simultaneo di entrambe le metriche ha permesso la chiara differenziazione di tutti e tre gli stati di sonno-veglia.

Significatività e Rivendicazioni
Il documento afferma che l'integrazione della variabilità della magnitudo del segnale nell'analisi dei pattern ordinali migliora la caratterizzazione dei comportamenti dinamici in serie temporali sia sintetiche che sperimentali. Gli autori asseriscono che questo approccio è particolarmente utile per:

• Ingegneria delle Caratteristiche (Feature Engineering): Fornire caratteristiche complementari del segnale che possono migliorare l'accuratezza dei classificatori AI e degli algoritmi di machine learning.
• Classificazione degli Stati: Migliorare la capacità di distinguere tra stati fisiologici complessi (come le fasi del sonno) dove le misure di entropia tradizionali possono essere insufficienti.
• Robustezza: Offrire un metodo che rimanga efficace sotto rumore di osservazione e variabili dimensioni di embedding.

Gli autori mantengono un tono modesto riguardo all'ambito, osservando che le loro conclusioni si basano su specifiche mappe sintetiche e un set specifico di registrazioni EEG di ratti. Suggeriscono che, mentre l'attuale metodo utilizza la deviazione standard, applicazioni future che coinvolgono segnali brevi potrebbero beneficiare dell'uso dell'intervallo interquartile per una maggiore robustezza contro gli outlier. Propongono inoltre che estendere l'analisi a uno spazio tridimensionale includendo una misura di complessità (es. complessità di Jensen-Shannon) potrebbe ulteriormente migliorare la caratterizzazione dei regimi dinamici non caotici.