Including the magnitude variability of a signal into the ordinal pattern analysis

Resumen Técnico: Inclusión de la Variabilidad de la Magnitud de una Señal en el Análisis de Patrones Ordinales

Planteamiento del Problema
El análisis de Patrones Ordinales (OP, por sus siglas en inglés) es un método ampliamente utilizado para caracterizar señales mediante la transformación de estas en secuencias simbólicas basadas en el orden relativo de las magnitudes de la señal dentro de vectores embebidos. Si bien el análisis OP es conceptualmente claro, robusto al ruido y eficaz para señales cortas, posee una limitación significativa: el proceso de codificación descarta la magnitud real de la señal en cada marca de tiempo, reteniendo únicamente las relaciones ordinales. En consecuencia, se pierde la información relativa a la variabilidad de la amplitud de la señal. Los autores señalan que, aunque la entropía de permutación (una cuantificación estadística de la secuencia OP) es útil, puede ser insuficiente para caracterizar plenamente sistemas dinámicos complejos, particularmente aquellos de mayor dimensión donde la relación entre la entropía de permutación y la entropía de Kolmogorov-Sinai no es tan directa como en los mapeos unidimensionales.

Metodología
Los autores proponen un enfoque complementario que integra la desviación estándar de las magnitudes de la señal dentro del marco de análisis de OP. La metodología implica los siguientes pasos:

1. Codificación de la Señal: Siguiendo el método de Bandt-Pompe, las señales univariantes se dividen en vectores embebidos de dimensión $D$. Cada vector se transforma en un Patrón Ordinal (OP) basado en el número de permutaciones requeridas para ordenar sus elementos.
2. Cálculo de la Entropía: Los autores calculan la entropía de min-Rényi ($H_\infty$) de la secuencia OP resultante. Esta métrica cuantifica el contenido de información promedio (incertidumbre) de la secuencia simbólica.
3. Cuantificación de la Variabilidad de la Magnitud: Para cada símbolo OP único $\alpha$, los autores calculan la desviación estándar ($\sigma_j$) de las magnitudes de la señal en el $j$-ésimo componente de todos los vectores embebidos correspondientes a dicho símbolo. Posteriormente, calculan el promedio ponderado por probabilidad del logaritmo de estas desviaciones estándar, denotado como $\langle \log_2 [\sigma_j] \rangle$.
4. Análisis Combinado: La caracterización de la señal se realiza mediante la representación gráfica de la entropía de permutación ($H_\infty$) frente a la variabilidad de magnitud promedio ($\text{avg}_j\{\langle \log_2 [\sigma_j] \rangle\}$).

El estudio valida este enfoque utilizando tres conjuntos de datos distintos:

• Modelos Sintéticos: Trayectorias de mapas logísticos idénticos acoplados y del mapa de Hénon, analizadas bajo diversos parámetros de control y fuerzas de acoplamiento. Se probaron condiciones tanto sin ruido como con ruido (ruido blanco gaussiano).
• Datos Experimentales: Registros de electroencefalografía (EEG) intracraneal de 11 ratas Wistar en libertad de movimiento, que cubren tres estados de sueño-vigilia: Vigilia Activa (AW), sueño REM y sueño NREM.

Contribuciones Clave

• Integración de una Nueva Métrica: El artículo introduce un método para retener la información de magnitud descartada por la codificación OP estándar, utilizando la desviación estándar de las magnitudes de la señal como una variable complementaria a la entropía de permutación.
• Justificación Teórica: El enfoque se fundamenta en el trabajo de Politi, que sugiere que el logaritmo de la desviación estándar de las magnitudes de la señal es necesario, junto con la dimensión de información, para lograr que la entropía de permutación converja a la entropía de Kolmogorov-Sinai.
• Diferenciación Mejorada: El estudio demuestra que la combinación de la entropía con la variabilidad de la magnitud proporciona una caracterización más robusta de los comportamientos dinámicos que el uso de la entropía de permutación por sí sola.

Resultados

• Mapas Sintéticos: En el análisis de los mapas de la logística y de Hénon acoplados, los autores observaron que regímenes dinámicos distintos a menudo producían valores de entropía de permutación ($H_\infty$) similares, pero valores de variabilidad de magnitud drásticamente diferentes. Por ejemplo, en los mapas logísticos acoplados, diferentes parámetros de control ($r$) produjeron valores de $H_\infty$ similares (p. ej., ~1.92 vs. 1.95 bits), pero valores de variabilidad de magnitud que diferían en un orden de magnitud. Por el contrario, algunos regímenes mostraron diferencias significativas de entropía pero una variabilidad similar. El gráfico 2D combinado de $H_\infty$ frente a la variabilidad permitió una separación más clara de estos regímenes que cualquiera de las métricas por separado.
• Robustez al Ruido: La métrica de variabilidad de magnitud siguió un comportamiento de ley de potencia en función de la dimensión de embebido y la fuerza del ruido, ayudando a la distinción entre señales caóticas y estocásticas incluso bajo un ruido de observación significativo.
• Análisis de EEG: Al aplicarse a datos de EEG de ratas, la entropía de permutación ($H_\infty$) distinguió con éxito la Vigilia Activa (mayor entropía) de los estados de sueño. Sin embargo, no logró diferenciar significativamente entre el sueño REM y el NREM, ya que sus valores de entropía eran similares. En contraste, la métrica de variabilidad de magnitud mostró una diferencia de aproximadamente un orden de magnitud entre los estados REM y NREM en la mayoría de los electrodos. Esto concuerda con las características fisiológicas de estos estados (ondas rápidas de bajo voltaje en REM frente a ondas lentas de alto voltaje en NREM). El uso simultáneo de ambas métricas permitió la diferenciación clara de los tres estados de sueño-vigilia.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo sostiene que la incorporación de la variabilidad de la magnitud de la señal en el análisis de patrones ordinales mejora la caracterización de los comportamientos dinámicos tanto en series temporales sintéticas como experimentales. Los autores afirman que este enfoque es particularmente útil para:

• Ingeniería de Características (Feature Engineering): Proporcionar características de señal complementarias que pueden mejorar la precisión de los clasificadores de IA y los algoritmos de aprendizaje automático.
• Clasificación de Estados: Mejorar la capacidad de distinguir entre estados fisiológicos complejos (como las etapas del sueño) donde las medidas de entropía tradicionales pueden ser insuficientes.
• Robustez: Ofrecer un método que permanece efectivo bajo ruido de observación y dimensiones de embebido variables.

Los autores mantienen la modestia respecto al alcance, señalando que sus conclusiones se basan en mapas sintéticos específicos y en un conjunto específico de registros de EEG de ratas. Sugieren que, si bien el método actual utiliza la desviación estándar, las aplicaciones futuras que involucren señales cortas podrían beneficiarse del uso del rango intercuartílico para una mayor robustez frente a valores atípicos. También proponen que extender el análisis a un espacio tridimensional que incluya una medida de complejidad (p. ej., la complejidad de Jensen-Shannon) podría mejorar aún más la caracterización de los regímenes dinámicos no caóticos.