Causal Partial Identification via Conditional Optimal Transport

1. Problema e Contesto

Il lavoro si concentra sull'estimazione di estimandi causali che dipendono dalla distribuzione congiunta degli esiti sotto trattamento ($Y(1)$) e sotto controllo ($Y(0)$) per una singola unità.

• Sfida Fondamentale: Nel paradigma dell'inferenza causale, è impossibile osservare simultaneamente $Y(1)$ e $Y(0)$ per la stessa unità (problema del "missing outcome"). Di conseguenza, la distribuzione congiunta non è identificabile, rendendo gli estimandi causali dipendenti da essa parzialmente identificabili (Partial Identification - PI).
• Ruolo delle Covariate: Le covariate pre-trattamento ($Z$) possono ridurre l'incertezza restringendo l'insieme delle distribuzioni congiunte possibili. L'obiettivo è caratterizzare i limiti inferiori e superiori (l'insieme PI) utilizzando le distribuzioni condizionate $Y|Z$.
• Limiti degli Approcci Esistenti: La caratterizzazione di questi insiemi PI assistiti dalle covariate richiede la risoluzione di problemi di Trasporto Ottimo Condizionale (COT). Tuttavia, la stima diretta del valore COT su campioni finiti è problematica perché il funzionale COT è discontinuo rispetto alla topologia debole (tipica delle distribuzioni empiriche). Gli approcci attuali si basano su rilassamenti, metodi indiretti che stimano funzioni di disturbo (nuisance functions) o procedure euristiche senza garanzie statistiche rigorose.

2. Metodologia Proposta

Gli autori propongono un nuovo framework teorico e un stimatore non parametrico diretto basato sulla continuità del funzionale COT sotto una topologia più forte.

A. Continuità sotto la Distanza di Wasserstein Adattata

Il contributo teorico centrale è la dimostrazione che il funzionale COT è continuo non sotto la topologia debole standard, ma sotto la topologia indotta dalla distanza di Wasserstein adattata ($W_a$).

• La distanza $W_a$ misura le discrepanze tra le distribuzioni congiunte $(Y, Z)$ tenendo conto della struttura causale, ovvero allineando le distribuzioni condizionate $Y|Z$ mentre si ottimizza l'accoppiamento delle covariate $Z$.
• Questo risultato risolve il problema della discontinuità: se le distribuzioni empiriche condizionate convergono in $W_a$, allora il valore COT stimato converge al valore vero.

B. Stimatore Non Parametrico Diretto

Sfruttando la continuità in $W_a$, gli autori costruiscono uno stimatore che evita la stima di funzioni di disturbo (come le regressioni non parametriche di $Y|Z$):

1. Discretizzazione delle Covariate: Lo spazio delle covariate $Z$ viene partizionato in celle finite (cubi). Le covariate osservate vengono proiettate sui centri di queste celle.
2. Distribuzione Empirica Adattata: Si costruisce una distribuzione empirica che mantiene la distribuzione delle outcome $Y$ ma discretizza le covariate $Z$. Questo permette di stimare le distribuzioni condizionate locali all'interno di ogni cella, mitigando il problema della scarsità di dati per valori specifici di $Z$ continui.
3. Accoppiamento Ottimale: Si calcola un accoppiamento ottimale tra le distribuzioni discretizzate dei gruppi di trattamento e controllo per allineare le celle di covariate simili.
4. Stima del Valore COT: Il valore dell'obiettivo (es. limite inferiore dell'insieme PI) è calcolato come la media pesata dei costi di trasporto ottimali all'interno delle celle accoppiate.

C. Gestione del Covariate Shift

Il metodo è esteso a scenari osservazionali dove l'assegnazione al trattamento dipende dalle covariate (propensity score non costante). In questo caso, viene introdotta una ricampionamento ponderato (reweighting) per correggere lo spostamento distribuzionale delle covariate, utilizzando una stima della propensity score e procedure di cross-fitting per garantire l'indipendenza statistica.

3. Risultati Teorici

Il paper fornisce garanzie teoriche solide per il nuovo stimatore:

• Consistenza: Lo stimatore è consistente; converge al vero valore COT quando la dimensione del campione tende all'infinito (Teorema 3).
• Velocità di Convergenza: Vengono derivati limiti di errore per campioni finiti. La velocità di convergenza è dell'ordine di $O(N^{-\frac{1}{d_Z + 2 \vee d_Y}})$, dove $N$ è la dimensione del campione, $d_Z$ la dimensione delle covariate e $d_Y$ quella degli outcome. Questo tasso è competitivo rispetto ai metodi di stima non parametrica standard.
• Robustezza: Lo stimatore dimostra robustezza rispetto a piccoli spostamenti nella distribuzione delle covariate (Covariate Shift), garantendo che errori nella distribuzione delle covariate non portino a errori catastrofici nella stima (Teorema 5).
• Estensione a Disegni Osservazionali: Viene dimostrato che il metodo mantiene la consistenza anche in presenza di assegnazione al trattamento dipendente dalle covariate, a patto che l'errore di stima della propensity score sia sufficientemente piccolo (Teorema 6).

4. Validazione Empirica

Gli autori hanno validato il metodo attraverso simulazioni estese e un caso di studio su dati reali:

• Dati Sintetici: Sono stati testati diversi modelli (lineari, quadratici, di scala) con outcome multidimensionali. Il metodo proposto ("adapt") è stato confrontato con l'approccio DualBounds (basato sulla stima di funzioni di disturbo tramite regressione ridge o KNN).
  • Il metodo proposto ha mostrato prestazioni superiori o comparabili, specialmente in scenari non lineari o quando i modelli di disturbo sono mal specificati.
  • Non richiede assunzioni parametriche sulla relazione tra covariate e outcome.
• Dati Reali (STAR Project): Utilizzando dati sul rendimento accademico (GPA), il metodo è stato applicato per stimare i limiti dell'insieme PI per la correlazione tra i potenziali esiti. Anche in questo caso, lo stimatore proposto ha ottenuto errori relativi inferiori rispetto ai metodi basati su DualBounds.

5. Significato e Contributi Chiave

1. Superamento della Discontinuità: Il lavoro risolve un problema fondamentale nella letteratura sul COT dimostrando la continuità sotto la topologia di Wasserstein adattata, permettendo l'uso di stimatori diretti invece di rilassamenti complessi.
2. Eliminazione delle Funzioni di Disturbo: A differenza dei metodi precedenti che richiedono la stima accurata di funzioni di regressione non parametriche (nuisance parameters), questo approccio è "model-free" e si basa sulla discretizzazione geometrica, riducendo il rischio di bias da specificazione errata del modello.
3. Garanzie Statistiche Rigorose: Fornisce per la prima volta una stima non parametrica consistente per il valore COT con tassi di convergenza provati e limiti di errore per campioni finiti.
4. Applicabilità Pratica: Il metodo è implementabile, scalabile e robusto, rendendo l'identificazione parziale assistita dalle covariate più accessibile per l'analisi causale in scenari reali con dati continui e complessi.

In sintesi, questo paper offre un avanzamento significativo nella teoria e nella pratica dell'inferenza causale parziale, trasformando il COT da un concetto teorico difficile da stimare in uno strumento pratico e statisticamente valido.