Causal Partial Identification via Conditional Optimal Transport

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à l'estimation d'estimands causaux (quantités d'intérêt) qui dépendent de la distribution conjointe des résultats potentiels de traitement et de contrôle pour une même unité ($Y(1)$ et $Y(0)$).

• Le défi fondamental : Dans les inférences causales classiques, on ne peut jamais observer simultanément les deux résultats potentiels pour une même unité (problème du "manque de données contrefactuelles"). Par conséquent, la distribution conjointe $\mu_{Y(0), Y(1)}$ n'est pas identifiable, rendant les estimands dépendants de cette distribution partiellement identifiables.
• Identification Partielle (PI) : Au lieu d'estimer une valeur ponctuelle, l'objectif est de construire un ensemble (ou un intervalle) de valeurs possibles cohérent avec les distributions marginales observées.
• Rôle des covariables : L'utilisation de covariables pré-traitement ($Z$) permet de réduire l'incertitude en contraignant la distribution conjointe à respecter les distributions conditionnelles $(Y(w), Z)$.
• Le problème du Transport Optimal Conditionnel (COT) : La caractérisation de ces ensembles PI assistés par les covariables repose sur des problèmes de Transport Optimal Conditionnel (COT). Cependant, l'estimation directe du fonctionnel COT à partir de données finies est incohérente sous la topologie faible usuelle. En effet, la fonctionnelle COT est discontinue : si les covariables sont continues, il est improbable d'observer exactement la même valeur de $Z$ dans les groupes traitement et contrôle, ce qui rend l'estimateur "plug-in" (basé sur les masses ponctuelles empiriques) divergent.

2. Méthodologie Proposée

Les auteurs proposent une approche novatrice pour contourner la discontinuité du COT et construire un estimateur direct et consistant.

A. Continuité sous une Topologie Plus Forte

La contribution théorique centrale est la démonstration que le fonctionnel COT devient continu non pas sous la topologie faible, mais sous une topologie plus forte induite par la distance de Wasserstein adaptée ($W_a$).

• La distance $W_a$ mesure la proximité entre les distributions en alignant non seulement les marginales, mais aussi les noyaux de transition conditionnels (les lois de $Y$ étant donné $Z$).
• Cette continuité permet d'établir la consistance d'estimateurs qui convergent vers la vraie distribution sous cette métrique.

B. Estimateur Empirique Adapté

Pour exploiter cette continuité, les auteurs construisent un estimateur empirique adapté :

1. Discrétisation de l'espace des covariables : L'espace des covariables $Z$ est partitionné en un nombre fini de cellules (boîtes). Les observations de $Z$ sont projetées sur le centre de leur cellule respective ($\phi_r^n$).
2. Distribution Empirique Adaptée : Au lieu d'utiliser les masses ponctuelles brutes, on construit une distribution discrète où les résultats $Y$ sont regroupés par cellule de covariables. Cela lisse l'estimation des distributions conditionnelles.
3. Couplage Optimal : On calcule un couplage optimal entre les distributions discrétisées des groupes traitement et contrôle pour minimiser le coût de transport conditionnel.
4. Estimateur Direct : La valeur estimée du COT est obtenue en intégrant les distances de Wasserstein conditionnelles locales sur ce couplage.

C. Gestion des Designs d'Étude

• Design de Bernoulli (Essais Randomisés) : L'estimateur est directement applicable lorsque l'assignation au traitement est indépendante des covariables.
• Assignation Dépendante des Covariables (Études Observationnelles) : Pour gérer le décalage de distribution des covariables (covariate shift), les auteurs intègrent une pondération par le score de propension (estimation de $e(z)$). Ils utilisent une procédure de cross-fitting (division des données en deux plis) pour garantir l'indépendance entre l'estimation du score de propension et la construction de la distribution empirique, évitant ainsi les biais de sur-ajustement.

3. Contributions Clés

1. Théorème de Continuité (Théorème 2) : Preuve que le fonctionnel COT est continu sous la topologie de la distance de Wasserstein adaptée, résolvant le problème de l'inconsistance des estimateurs directs.
2. Estimateur Non-Paramétrique Consistant (Théorème 3) : Proposition d'un estimateur direct qui ne nécessite pas l'estimation de fonctions de nuisance (comme les régressions conditionnelles complètes) et qui converge vers la vraie valeur du COT.
3. Bornes de Convergence Finie (Théorème 4) : Établissement de taux de convergence explicites pour l'erreur d'estimation, dépendant de la dimension des covariables ($d_Z$) et des résultats ($d_Y$). Le taux est de l'ordre de $O(N^{-1/(d_Z + 2 \vee d_Y)})$.
4. Robustesse (Théorème 5) : Démonstration que l'estimateur est robuste aux perturbations de la distribution des covariables (décalage de distribution), grâce à la structure du couplage optimal et à la discrétisation.
5. Extension aux Designs Observationnels (Théorème 6) : Généralisation de la méthode aux cas où l'assignation au traitement dépend des covariables, avec des garanties théoriques incluant l'erreur d'estimation du score de propension.

4. Résultats Expérimentaux

Les auteurs valident leur méthode par des simulations extensives et une étude sur des données réelles (projet STAR sur la réussite scolaire).

• Comparaison avec l'état de l'art : La méthode est comparée à l'approche DualBounds (Ji et al., 2023), qui repose sur l'estimation de fonctions de nuisance (régression ridge ou KNN).
  • Modèles Linéaires : Les deux méthodes performent bien, mais la méthode proposée est compétitive sans hypothèse de modèle linéaire.
  • Modèles Non-Linéaires (Quadratiques) : La méthode proposée surpasse nettement les méthodes basées sur la régression ridge (qui échouent à capturer la non-linéarité) et est supérieure aux KNN.
  • Modèles d'Échelle : La méthode proposée offre la meilleure précision.
• Robustesse : Les simulations montrent que l'erreur relative reste faible même en présence de décalages de distribution des covariables, confirmant la robustesse théorique.
• Données Réelles : Sur les données STAR, l'estimateur proposé fournit des bornes d'identification partielle pour la corrélation entre les résultats potentiels avec une erreur relative systématiquement inférieure aux méthodes concurrentes.

5. Signification et Impact

Cet article apporte une avancée significative dans le domaine de l'inférence causale et du transport optimal :

• Résolution d'un problème théorique ouvert : Il résout le problème de l'inconsistance des estimateurs directs de COT en introduisant la bonne topologie (Wasserstein adaptée) et une construction discrète appropriée.
• Élimination des fonctions de nuisance : Contrairement aux méthodes précédentes qui nécessitent d'estimer des modèles de régression complexes (nuisance parameters), cette méthode est non-paramétrique et directe, réduisant le risque de biais de spécification de modèle.
• Garanties théoriques solides : La fourniture de taux de convergence finis et de garanties de robustesse offre une base solide pour l'application de ces méthodes dans des contextes réels où les hypothèses de modèles paramétriques sont souvent violées.
• Applicabilité : La méthode est applicable aussi bien aux essais randomisés qu'aux études observationnelles, offrant un outil puissant pour quantifier l'incertitude dans l'évaluation d'impact causal lorsque la distribution conjointe des résultats est inconnue.

En résumé, Lin et al. proposent un cadre théorique et pratique robuste pour l'identification partielle causale, transformant le COT d'un outil théorique difficile à estimer en une méthode statistique fiable et performante.