Forecasting sub-population mortality using credibility theory

1. Il Problema

Il lavoro affronta la sfida di prevedere i tassi di mortalità per sottopopolazioni piccole (es. gruppi specifici per caratteristiche demografiche, geografiche o comportamentali) che fanno parte di una super-popolazione più ampia.

• La difficoltà: Le sottopopolazioni piccole spesso non dispongono di dati storici sufficienti o di una "esposizione" (numero di individui a rischio) adeguata per stimare e prevedere in modo affidabile i propri parametri di mortalità se modellate separatamente.
• Il contesto: Si assume che sia possibile ottenere previsioni affidabili per la super-popolazione (es. la popolazione nazionale italiana o svedese) utilizzando modelli standard (come Lee-Carter o modelli Generalizzati Age-Period-Cohort), ma che le sottopopolazioni siano troppo piccole per un modellazione diretta robusta.
• L'obiettivo: Sviluppare un metodo che combini le informazioni della super-popolazione (globale) con quelle specifiche della sottopopolazione, gestendo l'incertezza derivante dalla scarsità di dati.

2. Metodologia

Gli autori estendono la Teoria della Credibilità (classicamente utilizzata nell'assicurazione non vita per la frequenza dei sinistri) al contesto della mortalità, dove i tassi sono guidati da un processo stocastico latente.

A. Struttura del Modello

Il modello si basa su una struttura a due livelli:

1. Modello Globale ($\mu_{x,t}$): Un modello di mortalità per la super-popolazione (es. Poisson Lee-Carter) che cattura le dinamiche temporali e per età comuni.
2. Modello di Sottopopolazione: La mortalità della sottopopolazione $i$ è modellata come un effetto casuale rispetto al modello globale:
   $$D^i_{x,t} | E^i_{x,t}, \Theta^i_x, \mu_{x,t} \sim \text{Poisson}(E^i_{x,t} \Theta^i_x \mu_{x,t})$$
   Dove:
   • $D^i_{x,t}$ è il numero di decessi.
   • $E^i_{x,t}$ è l'esposizione.
   • $\Theta^i_x$ è un effetto casuale (random effect) dipendente dall'età e dalla sottopopolazione, che rappresenta la sopravvivenza relativa specifica del gruppo.
   • $\mu_{x,t}$ è il tasso di mortalità globale.

B. Derivazione dell'Estimatore di Credibilità

Il paper deriva un predittore lineare di credibilità per il tasso di mortalità futuro atteso. Il predittore è una media ponderata tra:

1. La previsione del tasso di mortalità globale ($\mu_{x,t'}$).
2. La previsione del tasso di mortalità specifico della sottopopolazione (modello di sopravvivenza relativa).

La formula del predittore è:
$$\hat{\mu}_{x,t'+h}(\Theta^i_x) = (1 - z^i_x)\mu_{x,t'+h} + z^i_x \mu^i_{x,t'+h}$$
Dove:

• $\mu_{x,t'+h}$ è l'aspettativa del tasso globale futuro.
• $\mu^i_{x,t'+h}$ è il tasso globale corretto per l'effetto specifico stimato ($\hat{\Theta}^i_x$).
• $z^i_x$ è il peso di credibilità, calcolato dinamicamente in base all'esposizione e alla varianza dell'effetto casuale.

C. Stima e Adattamento

• Stima Plug-in: Poiché le quantità teoriche (varianze, aspettative condizionate) non sono direttamente osservabili, gli autori propongono stimatori "plug-in" basati sui momenti (metodo dei momenti) per stimare la varianza di $\Theta^i_x$ e i pesi di credibilità.
• Gestione dell'Incertezza: Viene derivata un'espressione esplicita per l'errore quadratico di previsione atteso, che include sia la varianza del processo globale sia la varianza introdotta dall'effetto casuale della sottopopolazione. Questo permette di quantificare l'incertezza totale della previsione.
• Indipendenza dal Modello Globale: L'approccio è flessibile e non dipende dalla specifica forma funzionale del modello globale (es. Lee-Carter, APC, RH), purché si possano stimare i momenti necessari.

3. Contributi Chiave

1. Estensione della Teoria della Credibilità: Adattamento della teoria classica (Bühlmann) a modelli di mortalità con intensità stocastica (processi di Poisson non stazionari), superando l'assunzione di medie statiche tipica dell'assicurazione non vita.
2. Compromesso Ottimale: Fornisce un meccanismo matematico rigoroso per bilanciare automaticamente l'uso di un modello globale robusto e un modello locale specifico, basandosi sulla quantità di dati disponibili (esposizione) e sulla variabilità osservata.
3. Misura dell'Errore di Previsione: Derivazione di una formula analitica per l'errore quadratico di previsione, che tiene conto della sovrapposizione (over-dispersion) dovuta all'eterogeneità tra le sottopopolazioni.
4. Flessibilità: Il metodo funziona come un "wrapper" attorno a qualsiasi modello di previsione globale, rendendolo applicabile a diverse configurazioni di modelli (LC, APC, ecc.).

4. Risultati (Studio di Simulazione)

Gli autori hanno validato il metodo su dati sintetici basati sulla mortalità italiana, simulando tre sottopopolazioni di dimensioni diverse (piccola, media, grande).

• Comportamento dei Pesi di Credibilità:
  • Per le sottopopolazioni piccole (bassa esposizione), il peso $z^i_x$ è vicino a 0: il predittore si fida quasi interamente del modello globale.
  • Per le sottopopolazioni grandi o per le età avanzate (dove il numero di decessi attesi è più alto), il peso $z^i_x$ aumenta, spostando la previsione verso il modello di sopravvivenza relativa specifico.
  • Il modello si adatta dinamicamente man mano che vengono aggiunti nuovi anni di dati (procedura a finestra mobile).
• Performance Predittiva:
  • Confrontando il metodo di credibilità (Modello A) con un modello globale puro (D), un modello di sopravvivenza relativa pura (B) e modelli separati per ogni sottopopolazione (C):
    • Il modello di credibilità A ha prestazioni superiori o comparabili ai benchmark.
    • Per le sottopopolazioni molto piccole, il modello C (separato) fallisce o ha errori elevati a causa della scarsità di dati, mentre A mantiene la stabilità del modello globale.
    • Per le sottopopolazioni più grandi, A si avvicina alle prestazioni di B, catturando le specificità del gruppo.
  • Il modello di credibilità riduce l'errore quadratico medio (MSE) e la devianza di Poisson rispetto all'uso esclusivo di modelli separati per gruppi piccoli.

5. Significato e Implicazioni

Questo lavoro è significativo per l'attuarialità e la demografia per diversi motivi:

• Soluzione per Gruppi Piccoli: Offre una soluzione pratica e teoricamente fondata per la previsione della mortalità in gruppi di nicchia (es. specifiche professioni, minoranze etniche, regioni piccole) dove i dati sono scarsi.
• Riduzione del Rischio di Sovra-adattamento: Evita di affidarsi a modelli locali instabili quando i dati non sono sufficienti, prevenendo previsioni errate dovute al rumore statistico.
• Interpretabilità: La struttura del predittore è trasparente: è una media ponderata tra una visione "macro" e una "micro", con pesi calcolati oggettivamente dai dati.
• Applicabilità Pratica: Essendo basato su stime plug-in e non richiedendo assunzioni distribuzionali complesse (come nei modelli Bayesiani puri), è computazionalmente efficiente e facile da implementare in contesti reali.

In sintesi, il paper propone un framework robusto che utilizza la teoria della credibilità per colmare il divario tra modelli di popolazione aggregata e la necessità di previsioni granulari per sottogruppi, garantendo stabilità statistica senza sacrificare la specificità dei dati quando questi sono sufficienti.