Forecasting sub-population mortality using credibility theory

1. Problématique et Contexte

L'article aborde le défi majeur de la prévision des taux de mortalité pour des sous-populations de petite taille (par exemple, des groupes spécifiques définis par des caractéristiques démographiques, biologiques ou comportementales) qui font partie d'une super-population plus vaste (comme une population nationale).

• Le dilemme :
  • Il est généralement possible de produire des prévisions fiables pour la super-population grâce à des modèles robustes et à des données historiques suffisantes (ex: modèles de Lee-Carter, modèles âge-période-cohorte).
  • En revanche, les sous-populations sont souvent trop petites ou manquent d'historique suffisant pour permettre un modélisation directe fiable. L'estimation des paramètres spécifiques à ces petits groupes conduit à une grande variabilité et à des prévisions instables.
• L'objectif : Développer une méthode qui combine les informations de la super-population (robuste) avec les données spécifiques de la sous-population (bruyantes mais potentiellement informatives) pour obtenir des prévisions optimales.

2. Méthodologie : Extension de la Théorie de la Crédibilité

Les auteurs proposent d'étendre la théorie classique de la crédibilité (généralement utilisée en assurance non-vie pour les fréquences de sinistres) au contexte de la mortalité humaine, où les taux de mortalité futurs sont pilotés par un processus stochastique latent (comme dans les modèles de type Lee-Carter).

A. Cadre Théorique

Le modèle suppose que le taux de mortalité central $\mu_{x,t}$ d'une sous-population $i$ à l'âge $x$ et au temps $t$ suit une structure de survie relative avec un effet aléatoire :
$$\mu_{x,t}^i = \mu_{x,t} \cdot \Theta_x^i$$
Où :

• $\mu_{x,t}$ est le taux de mortalité de la super-population (modélisé globalement).
• $\Theta_x^i$ est un effet aléatoire (random effect) dépendant de l'âge et de la sous-population, représentant l'hétérogénéité spécifique du groupe.

Les hypothèses clés incluent :

1. La distribution des décès suit une loi de Poisson conditionnelle à l'exposition et à l'effet aléatoire.
2. L'effet aléatoire $\Theta_x^i$ est indépendant du processus de base $\mu_{x,t}$ et stationnaire dans le temps.
3. Les observations sur des intervalles de temps disjoints sont conditionnellement indépendantes.

B. L'Estimateur de Crédibilité

L'article dérive un prédicteur linéaire de crédibilité pour le taux de mortalité futur attendu. Ce prédicteur est une moyenne pondérée entre :

1. Le taux de mortalité attendu de la super-population ($\bar{\mu}_{x,t}$).
2. Le taux de mortalité spécifique à la sous-population, corrigé par un facteur de survie relative estimé ($\hat{\mu}_{x,t}^i$).

La formule du prédicteur est :
$$\hat{\mu}_{x,t}^i = (1 - z_x^i) \bar{\mu}_{x,t} + z_x^i \hat{\mu}_{x,t}^i$$
Où $z_x^i$ est le poids de crédibilité.

• Détermination du poids $z_x^i$ : Ce poids dépend de l'exposition totale (nombre de personnes-années) et de la variance de l'effet aléatoire $\Theta_x^i$.
  • Si la sous-population est petite (faible exposition) ou si la variance de l'effet aléatoire est faible (le groupe ressemble beaucoup à la moyenne), $z_x^i \to 0$ : on fait confiance au modèle global.
  • Si la sous-population est grande et que l'effet spécifique est fort, $z_x^i \to 1$ : on fait confiance au modèle spécifique.

C. Estimation Plug-in et Erreur de Prévision

Puisque les moments théoriques (variance de $\Theta$) ne sont pas observables directement, les auteurs proposent des estimateurs plug-in basés sur les moments :

• Utilisation de la méthode des moments pour estimer la variance de l'effet aléatoire.
• Ajustement pour garantir la non-négativité des variances estimées.
• Erreur quadratique de prévision : Une expression explicite de l'erreur quadratique attendue est dérivée. Elle montre que l'approche de crédibilité introduit une sur-dispersion par rapport à un modèle sans hétérogénéité, même dans les cas limites, en raison de l'incertitude sur l'effet aléatoire.

3. Contributions Clés

1. Extension de la crédibilité aux processus stochastiques : Contrairement aux applications classiques en assurance où les moyennes sont statiques, cette méthode gère des taux de mortalité dynamiques pilotés par des processus temporels stochastiques (type Lee-Carter).
2. Indépendance du modèle global : L'approche de crédibilité ne dépend pas de la forme spécifique du modèle utilisé pour la super-population (Lee-Carter, APC, RH, etc.), ce qui la rend très flexible.
3. Analyse de l'erreur de prévision : Déduction d'une formule explicite pour l'erreur quadratique de prévision, permettant de quantifier l'incertitude des prévisions pour les petits groupes.
4. Alternative aux modèles bayésiens complexes : L'approche offre une solution linéaire optimale (au sens de la perte quadratique) qui ne nécessite pas d'hypothèses distributionnelles fortes (comme la normalité a priori), contrairement aux modèles bayésiens hiérarchiques complets, ce qui est crucial pour les petits échantillons où les priors domineraient les données.

4. Résultats de l'Étude Numérique

Les auteurs ont validé leur méthode via une étude de simulation basée sur des données de mortalité italiennes, créant trois sous-populations de tailles différentes (petite, moyenne, grande) et une super-population.

• Comportement des poids de crédibilité :
  • Pour les petites sous-populations (faible exposition), le poids de crédibilité est faible, et le prédicteur suit étroitement la tendance globale.
  • À mesure que l'âge augmente (et donc le nombre de décès attendus), le poids de crédibilité augmente, permettant au modèle de s'ajuster aux spécificités locales.
  • L'ajout de données historiques (fenêtre glissante) fait converger progressivement le prédicteur vers le modèle de survie relative spécifique.
• Performance de prévision (MSE et Déviance de Poisson) :
  • Comparé aux modèles ajustés séparément sur chaque sous-population (qui échouent souvent à converger ou sont très instables pour les petits groupes), l'approche de crédibilité offre une performance supérieure ou comparable.
  • Pour les très petits groupes, l'approche de crédibilité surpasse nettement le modèle séparé et se comporte comme un compromis optimal entre le modèle global et le modèle local.
  • Pour les groupes plus grands, l'approche de crédibilité converge vers le modèle de survie relative, capturant mieux les dynamiques spécifiques.
• Robustesse : La méthode fonctionne bien même lorsque le modèle global choisi (ex: Lee-Carter) n'est pas parfait, car elle corrige les biais via l'effet aléatoire estimé.

5. Signification et Conclusion

Cet article fournit un cadre théorique et pratique robuste pour la modélisation de la mortalité dans des sous-populations de petite taille.

• Pour les actuaires et démographes : La méthode offre un outil « data-driven » pour gérer le compromis entre la stabilité des modèles globaux et la précision des modèles locaux, sans avoir besoin de spécifier des distributions a priori complexes.
• Apport méthodologique : Elle comble un vide entre la théorie de la crédibilité classique (statique) et les modèles de mortalité modernes (stochastiques), en fournissant des estimateurs linéaires optimaux avec des mesures d'erreur explicites.
• Application pratique : La méthode est particulièrement pertinente pour la tarification de l'assurance-vie sur des segments de marché spécifiques, la planification des retraites pour des groupes professionnels, ou l'épidémiologie de sous-groupes de population, où les données sont rares mais où une estimation fiable est critique.

En résumé, l'approche proposée permet de « sauver » les prévisions pour les petits groupes en les ancrant dans la réalité de la population globale tout en leur permettant de dévier de manière contrôlée lorsque les données locales le justifient.