Khintchine dichotomy and Schmidt estimates for self-similar measures on $\mathbb{R}^d$

1. Il Problema e il Contesto

Il lavoro si inserisce nel campo dell'approssimazione diofantica metrica, estendendo i classici teoremi di Khintchine e Schmidt dal contesto della misura di Lebesgue a quello delle misure autosimilari su $\mathbb{R}^d$.

• Contesto Classico: Il teorema di Khintchine stabilisce una dicotomia per l'insieme dei vettori $\psi$-approssimabili $W(\psi)$ rispetto alla misura di Lebesgue: la misura è nulla se la serie $\sum \psi(q)^d$ converge, e piena se diverge. Schmidt ha successivamente fornito stime asintotiche per il numero di soluzioni di tali disequazioni nel caso divergente.
• La Questione di Mahler: Da decenni si studia se le misure autosimilari (come quelle associate all'insieme di Cantor o a frattali più generali) soddisfino una dicotomia analoga.
• Stato dell'Arte: Risultati precedenti (es. Kleinbock-Lindenstrauss-Weiss, Khalil-Luethi) avevano affrontato il problema per classi specifiche di misure o funzioni di approssimazione, spesso richiedendo condizioni restrittive come la dimensione alta della misura, la razionalità dell'IFS (Iterated Function System), o limitazioni alla dimensione $d=1$.
• Obiettivo: Estendere la dicotomia di Khintchine e le stime di Schmidt a qualsiasi misura autosimilare su $\mathbb{R}^d$ (con $d \ge 1$) generata da un IFS autosimilare randomizzato irriducibile con momento esponenziale finito, senza restrizioni sulla funzione di approssimazione $\psi$ o sulla primitività delle soluzioni.

2. Metodologia

L'approccio combina la teoria ergodica, la dinamica sui gruppi di Lie e l'analisi armonica. La strategia si articola in tre fasi principali:

A. Corrispondenza di Dani e Flussi Espandenti

I autori utilizzano la filosofia di Dani per collegare le proprietà diofantiche di un vettore $s \in \mathbb{R}^d$ alla dinamica della traiettoria $(a(t)u(s)x_0)_{t>1}$ nello spazio omogeneo $X = SL_{d+1}(\mathbb{R}) / SL_{d+1}(\mathbb{Z})$.

• $a(t)$ è un flusso diagonale espandente.
• $u(s)$ è un flusso unipotente.
• La misura autosimilare $\sigma$ su $\mathbb{R}^d$ viene studiata attraverso la sua immagine su $X$ sotto l'azione di questi flussi.

B. Equidistribuzione Effettiva di Camminate Aleatorie

Il cuore tecnico della dimostrazione è l'analisi di una camminata aleatoria su $X$ associata alla misura $\lambda$ che genera la misura autosimilare.

• Definizione della Camminata: Viene costruita una misura di probabilità $\mu$ su $SL_{d+1}(\mathbb{R})$ tale che la distribuzione della camminata $\mu^{*n} * \delta_x$ approssima l'evoluzione della misura $\sigma$ lungo il flusso espandente.
• Teorema di Equidistribuzione Effettiva (Teorema 1.3): Si dimostra che la camminata aleatoria converge alla misura di Haar $m_X$ con un tasso esponenziale, indipendentemente dal punto di partenza $x$ (con un errore che dipende dal raggio di iniettività di $x$).
  $$|\mu^{*n} * \delta_x(f) - m_X(f)| \le C S_{\infty,l}(f) \text{inj}(x)^{-1} e^{-cn}$$

C. Il "Dimensional Bootstrap" e Ostacoli Algebrici

Questa è la novità metodologica principale rispetto ai lavori precedenti (incluso il precedente lavoro degli stessi autori per $d=1$).

• Problema: In dimensioni $d \ge 2$, i metodi di "multislicing" (taglie multiple) usati in dimensione 1 falliscono a causa di ostacoli algebrici: le sottovarietà algebriche possono contenere sottospazi invarianti che impediscono la concentrazione nulla richiesta dai teoremi di proiezione classici.
• Soluzione: Gli autori introducono una ipotesi di non-concentrazione debole (MNC - Mild Non-Concentration). Invece di richiedere che i sottospazi evitino tutte le sottovarietà, dimostrano che evitano sufficientemente le sottovarietà algebriche rilevanti.
• Regolarità di Hölder: Per validare l'ipotesi MNC, dimostrano che le misure autosimilari non si concentrano vicino a sottovarietà algebriche proprie di $\mathbb{R}^d$ (Teorema 4.4), stabilendo una regolarità di Hölder per tali misure.
• Iterazione: Utilizzando l'ipotesi MNC e un teorema di multislicing adattato, dimostrano che la dimensione della distribuzione della camminata aleatoria aumenta iterativamente fino a raggiungere la dimensione piena dello spazio, permettendo l'applicazione del "spectral gap" per ottenere l'equidistribuzione.

3. Risultati Principali

Teorema 1.1 (Dicotomia di Khintchine e Stime di Schmidt)

Sia $\sigma$ una misura di probabilità autosimilare su $\mathbb{R}^d$ (irriducibile, momento esponenziale finito). Sia $\psi: \mathbb{N} \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ una funzione non crescente.

1. Dicotomia:
   $$\sigma(W(\psi)) = \begin{cases} 0 & \text{se } \sum_{q \in \mathbb{N}} \psi(q)^d < \infty \\ 1 & \text{se } \sum_{q \in \mathbb{N}} \psi(q)^d = \infty \end{cases}$$
2. Stima Asintotica (Caso Divergente): Per $\sigma$-quasi ogni $s \in \mathbb{R}^d$, il numero di soluzioni $(p, q) \in \mathbb{Z}^d \times [0, n]$ alla disequazione $\|qs - p\|_\infty < \psi(q)$ soddisfa:
   $$\# \{ (p, q) : \dots \} \sim_{s, \psi} 2^d \sum_{q=0}^n \psi(q)^d$$
   Viene fornita anche una stima analoga per le soluzioni primitive (coinvolgendo la funzione zeta di Riemann $\zeta(d+1)$).

Teorema 1.2 (Equidistribuzione Effettiva di Frattali Espansi)

Per ogni $x \in X$, $t > 1$ e funzione liscia $f$:
$$\left| \int_{\mathbb{R}^d} f(a(t)u(s)x) d\sigma(s) - m_X(f) \right| \le C S_{\infty,l}(f) \text{inj}(x)^{-1} t^{-c}$$
Questo risultato quantifica quanto velocemente la misura autosimilare, vista lungo un'orbita unipotente espansa, si distribuisce uniformemente nello spazio omogeneo.

4. Contributi Chiave e Innovazioni

1. Generalizzazione alla Dimensione Arbitraria: Rimuove il vincolo $d=1$ presente nel lavoro precedente degli autori [7], affrontando le complessità geometriche e algebriche delle dimensioni superiori.
2. Gestione degli Ostacoli Algebrici: Sviluppo di una tecnica di "bootstrap dimensionale" che supera gli ostacoli algebrici intrinseci alle dimensioni $d \ge 2$ attraverso l'ipotesi MNC e la regolarità di Hölder delle misure autosimilari.
3. Trattamento di Funzioni di Approssimazione Generali: Il risultato vale per qualsiasi funzione $\psi$ non crescente, senza restrizioni sulla velocità di decadimento (a differenza di lavori precedenti che richiedevano $\psi$ decrescente molto rapidamente).
4. Stime di Schmidt Complete: Fornisce stime asintotiche precise per il numero di soluzioni (non solo per le soluzioni primitive), gestendo trasformate di Siegel che non sono nemmeno in $L^2$ nel caso $d=1$ (tramite tecniche di troncamento e stime di momenti limitati).
5. Regolarità di Hölder: Dimostrazione che le misure autosimilari non si concentrano vicino a sottovarietà algebriche, un risultato di interesse indipendente che completa la letteratura sulla regolarità di tali misure.

5. Significato

Questo lavoro rappresenta un passo fondamentale nella comprensione delle proprietà aritmetiche dei frattali. Risolve una questione aperta da tempo (la generalizzazione della dicotomia di Khintchine a tutte le misure autosimilari in qualsiasi dimensione) e unifica la teoria delle misure autosimilari con la dinamica omogenea.
La metodologia sviluppata, in particolare il superamento degli ostacoli algebrici tramite il "dimensional bootstrap" e l'ipotesi MNC, apre la strada a future applicazioni in altri contesti di dinamica su spazi omogenei e approssimazione diofantica su varietà e frattali più complessi. Inoltre, le stime quantitative ottenute sono cruciali per applicazioni che richiedono tassi di convergenza espliciti.