Khintchine dichotomy and Schmidt estimates for self-similar measures on $\mathbb{R}^d$

1. Problématique et Contexte

Le papier s'inscrit dans le domaine de l'approximation diophantienne métrique. Il vise à généraliser deux théorèmes classiques aux mesures auto-similaires sur $\mathbb{R}^d$ ($d \ge 1$) :

• Le théorème de Khintchine : Il établit une dichotomie pour l'ensemble des vecteurs $\psi$-approximables $W(\psi)$. Selon que la série $\sum \psi(q)^d$ converge ou diverge, la mesure de Lebesgue (ou d'une mesure donnée) de cet ensemble est soit nulle, soit pleine.
• Le théorème de Schmidt : Dans le cas divergent, il fournit une estimation asymptotique précise du nombre de solutions $(p, q)$ à l'inégalité diophantienne $\|qs - p\|_\infty < \psi(q)$ pour $q \le N$.

Contexte historique :
La question initiale de Mahler (1984) concernait l'approximation des points de l'ensemble de Cantor par des rationnels. Des travaux antérieurs (Kleinbock-Lindenstrauss-Weiss, Khalil-Luethi, etc.) ont résolu ce problème pour des classes restreintes de mesures (mesures "amicales", dimensions élevées, ou fonctions d'approximation spécifiques).
L'article précédent des auteurs [7] a résolu le cas $d=1$ pour toute mesure auto-simulaire et toute fonction $\psi$, mais la généralisation à $d \ge 2$ restait ouverte, notamment en raison d'obstructions algébriques dans les méthodes de "bootstrapping" dimensionnel.

Objectif du papier :
Établir la dichotomie de Khintchine et les estimées de Schmidt pour toute mesure auto-similaire stationnaire $\sigma$ sur $\mathbb{R}^d$ (irréductible, avec moment exponentiel fini), sans restriction sur la dimension $d$ ni sur la fonction d'approximation $\psi$.

2. Méthodologie et Techniques Clés

La preuve repose sur une approche dynamique, reliant l'approximation diophantienne à la théorie ergodique sur l'espace homogène $X = \mathrm{SL}_{d+1}(\mathbb{R}) / \mathrm{SL}_{d+1}(\mathbb{Z})$.

A. Correspondance de Dani et Équidistribution Effective

Les auteurs utilisent la correspondance de Dani : les propriétés diophantiennes d'un vecteur $s$ sont codées par la trajectoire $(a(t)u(s)x_0)_{t>1}$ dans $X$.

• Théorème 1.2 (Équidistribution effective) : Ils prouvent que la mesure $\sigma$, poussée le long des orbites unipotentes et dilatées par le flot diagonal $a(t)$, s'équidistribue exponentiellement vite vers la mesure de Haar $m_X$ sur $X$.
• Lien avec la marche aléatoire : Grâce à l'auto-similarité de $\sigma$, l'opérateur de translation $a(t)u(s)$ est relié à une marche aléatoire $\mu$-sur $X$ (théorème 1.3). La preuve de l'équidistribution se ramène donc à l'étude de la convergence de cette marche aléatoire.

B. Obstacles Algébriques et Nouvelle Stratégie de "Bootstrapping"

La difficulté majeure pour $d \ge 2$ réside dans l'impossibilité d'appliquer directement les méthodes de "multislicing" (découpage multi-dimensionnel) utilisées dans le cas $d=1$ (Bourgain, He, etc.).

• Obstruction (Lemme 7.3) : Pour $d \ge 2$, les sous-espaces vectoriels associés à la marche aléatoire peuvent intersecter des sous-variétés algébriques de manière non triviale, violant les hypothèses de non-concentration forte requises par les théorèmes de projection classiques.
• Solution : Hypothèse de Non-Concentration Douce (MNC) : Les auteurs introduisent une hypothèse de non-concentration plus faible (Définition 7.9). Au lieu d'exiger que les sous-espaces évitent toutes les sous-variétés, ils montrent qu'ils évitent presque sûrement les sous-variétés fixes par rapport à une mesure de probabilité spécifique.
• Régularité Hölderienne (Section 4) : Pour valider l'hypothèse (MNC), ils établissent de nouvelles propriétés de régularité pour les mesures auto-similaires : elles ne se concentrent pas près des sous-variétés algébriques propres de $\mathbb{R}^d$ (Théorème 4.4). Cela permet de contourner les obstructions algébriques.

C. Bootstrap Dimensionnel

En combinant la régularité Hölderienne, l'hypothèse (MNC) et un théorème de multislicing raffiné (Proposition 7.14), les auteurs montrent que la dimension de la mesure de la marche aléatoire peut être augmentée itérativement jusqu'à atteindre la dimension de l'espace ambiant (Proposition 7.2). Cela permet d'appliquer un écart spectral (spectral gap) pour obtenir l'équidistribution effective.

D. Traitement des Transformées de Siegel

Pour le cas divergent (comptage des solutions), les auteurs doivent gérer les transformées de Siegel de fonctions indicatrices de boules.

• Cas $d \ge 2$ : Ces fonctions ont un moment d'ordre 2 fini.
• Cas $d = 1$ : Le moment d'ordre 2 est infini. Les auteurs utilisent une technique de troncature (restriction aux vecteurs primitifs ou multiples bornés) et des estimées de moments adaptées (Proposition 9.17) pour contourner ce problème et obtenir le comptage asymptotique.

3. Résultats Principaux

Théorème 1.1 (Dichotomie de Khintchine et Théorème de Schmidt)

Soit $\sigma$ une mesure auto-similaire irréductible sur $\mathbb{R}^d$ avec un moment exponentiel fini. Soit $\psi : \mathbb{N} \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ une fonction décroissante.

1. Dichotomie :
   $$\sigma(W(\psi)) = \begin{cases} 0 & \text{si } \sum_{q} \psi(q)^d < \infty \\ 1 & \text{si } \sum_{q} \psi(q)^d = \infty \end{cases}$$
2. Estimation Asymptotique (Cas divergent) : Pour $\sigma$-presque tout $s \in \mathbb{R}^d$, lorsque $N \to \infty$ :
   $$\left| \{ (p, q) \in \mathbb{Z}^d \times [1, N] : \|qs - p\|_\infty < \psi(q) \} \right| \sim_{s, \psi} 2^d \sum_{q=1}^N \psi(q)^d$$
   Une estimation similaire est obtenue pour les solutions primitives (impliquant la fonction $\zeta(d+1)$).

Théorème 1.2 (Équidistribution Effective)

Pour tout $x \in X$, $t > 1$ et fonction test $f$ lisse :
$$\left| \int_{\mathbb{R}^d} f(a(t)u(s)x) d\sigma(s) - m_X(f) \right| \le C S_{\infty, l}(f) \cdot \mathrm{inj}(x)^{-1} t^{-c}$$
Ce résultat est quantitatif et dépend du rayon d'injectivité du point de départ, ce qui est crucial pour les applications diophantiennes.

4. Contributions Techniques et Innovations

1. Généralisation à la dimension arbitraire : Résolution du problème pour tout $d \ge 1$, comblant le fossé laissé par les travaux précédents limités à $d=1$ ou à des mesures très spécifiques.
2. Nouvelle stratégie de bootstrapping dimensionnel : Développement d'une méthode pour contourner les obstructions algébriques en dimension supérieure via l'hypothèse (MNC) et la régularité Hölderienne près des sous-variétés.
3. Régularité Hölderienne près des sous-variétés algébriques : Preuve que les mesures auto-similaires ne se concentrent pas près de sous-variétés algébriques (Théorème 4.4), un résultat indépendant d'intérêt pour l'analyse géométrique des fractales.
4. Gestion des singularités pour $d=1$ : Adaptation ingénieuse des estimées de moments pour les transformées de Siegel dans le cas unidimensionnel où les moments d'ordre 2 divergent, permettant d'obtenir le comptage asymptotique sans restriction sur $\psi$.

5. Signification et Impact

Ce travail représente une avancée majeure en théorie des nombres et en systèmes dynamiques :

• Il confirme la conjecture de Mahler-Kleinbock-Lindenstrauss-Weiss dans sa forme la plus générale pour les mesures auto-similaires.
• Il unifie les approches probabilistes (marches aléatoires) et géométriques (théorie de l'approximation) dans un cadre de haute dimension.
• Les techniques développées, notamment la gestion des obstructions algébriques via la non-concentration "douce", ouvrent la voie à l'étude d'autres problèmes d'équidistribution sur des espaces homogènes pour des mesures singulières ou fractales.
• Les résultats de comptage de Schmidt obtenus sont optimaux et s'appliquent à des fonctions d'approximation très générales, dépassant les restrictions antérieures sur la décroissance de $\psi$.

En résumé, ce papier établit un cadre robuste et complet pour l'approximation diophantienne sur les fractales, reliant profondément la géométrie des mesures auto-similaires à la dynamique des flots sur les espaces de réseaux.