Arithmetic Hirzebruch-Zagier divisors and central derivative values of Rankin-Selberg $L$-functions

Sintesi Tecnica: Divisori di Hirzebruch-Zagier Aritmetici e Valori della Derivata Centrale di Funzioni L di Rankin-Selberg

Enunciato del Problema
Il saggio affronta l'interpretazione aritmetica dei valori della derivata centrale $\Lambda'(E/k, \chi, 1)$ della funzione $L$ di Hasse-Weil con twist di una curva ellittica $E/\mathbb{Q}$ su un campo quadratico $k$ (immaginario o reale), con twist di un carattere $\chi$ del gruppo di classi degli ideali di $k$. Mentre il classico teorema di Gross-Zagier (Teorema 1.1) mette in relazione queste derivate con le altezze di Néron-Tate di divisori di Heegner sulla curva modulare $X_0(N)$ quando $k$ è quadratico immaginario, questo lavoro mira a generalizzare e perfezionare tali relazioni. Nello specifico, mira a esprimere queste derivate centrali in termini di altezze aritmetiche di divisori di Hirzebruch-Zagier sul prodotto di curve modulari $X_0(N) \times X_0(N)$, e a fornire formule analoghe per il caso in cui $k$ sia un campo quadratico reale.

Metodologia
L'autore utilizza il framework della teoria dell'intersezione aritmetica sulle varietà di Shimura, utilizzando specificamente la teoria dei sollevamenti theta regolarizzati e delle funzioni Green automorfe sviluppate da Borcherds, Bruinier e Yang.

1. Configurazione Geometrica: L'autore costruisce spazi quadratici razionali $(V_A, Q_A)$ di firma $(2,2)$ associati a ciascuna classe di ideali $A$ nel gruppo di classi $C(\mathcal{O}_k)$. La varietà di Shimura spin associata $X_{K_A}$ è identificata con il prodotto di curve modulari $Y_0(N) \times Y_0(N)$ (e la sua compattificazione $X_0(N) \times X_0(N)$).
2. Forme Automorfe: L'autore utilizza forme Maass deboli armoniche $f$ di peso $1 - n/2$ e le loro immagini sotto l'operatore differenziale di Bruinier-Funke $\xi_l$ per costruire funzioni Green automorfe $\Phi(f, z, h)$. Queste funzioni fungono da funzioni Green per speciali divisori (divisori di Hirzebruch-Zagier) sulla varietà di Shimura.
3. Formule di Somma: Il nucleo della macchina tecnica consiste nel calcolare le somme di queste funzioni Green lungo due tipi di cicli:
   • Cicli CM ($Z(V_0)$): Cicli di dimensione zero associati a campi quadratici immaginari (sottospazi di firma $(0,2)$).
   • Cicli Geodetici Reali ($G(W)$): Cicli monodimensionali associati a campi quadratici reali (sottospazi di firma $(1,1)$).
     Questi calcoli producono presentazioni integrali coinvolgenti funzioni $L di Rankin-Selberg e le loro derivate.
4. Equivalenze di Funzioni L: Il saggio stabilisce equivalenze tra le funzioni $L standard di Rankin-Selberg $\Lambda(s, \phi \times \theta(\chi))$ (dove $\phi$ è il nuovoforme per $E$ e $\theta(\chi)$ è la serie theta) e le funzioni $L associate a forme cuspiche a valore vettoriale sulla varietà di Shimura tramite il sollevamento di Doi-Naganuma e il basechange quadratico.

Contributi Chiave e Risultati

• Formule di Altezza Aritmetica per Campi Quadratici Immaginari:
  Il saggio deriva una nuova formula per la derivata centrale $\Lambda'(E/k, \chi, 1)$ (Teorema 1.4, Teorema 7.7). Essa esprime questo valore come una somma di altezze di Faltings di divisori aritmetici di Hirzebruch-Zagier $\hat{Z}_A(f_{0,A})$ su $X_0(N) \times X_0(N)$ valutati lungo cicli CM $Z(V_{A,0})$.
  $$\Lambda'(1/2, \phi \times \theta(\chi)) = -2 \sum_{A \in C(\mathcal{O}_k)} \chi(A) [\hat{Z}_A(f_{0,A}) : Z(V_{A,0})]$$
  Questo fornisce una "Gross-Zagier superiore" per il prodotto di curve modulari.

• Caso del Campo Quadratico Reale:
  Per i campi quadratici reali, il saggio fornisce una distinta presentazione integrale per la derivata centrale (Teorema 1.2 (ii), Teorema 6.6 (ii)). Questa formula coinvolge somme di funzioni Green automorfe lungo cicli geodetici reali, combinate con termini costanti di sollevamenti theta e derivate di integrali regolarizzati.

• Relazione con la Classica Gross-Zagier:
  Confrontando le nuove formule con il classico teorema di Gross-Zagier, l'autore stabilisce un'identità tra le altezze aritmetiche di divisori di Heegner su $X_0(N)$ e le altezze aritmetiche di divisori di Hirzebruch-Zagier su $X_0(N) \times X_0(N)$ (Corollario A.9). Ciò offre una nuova prova della formula di Gross-Zagier tramite sollevamenti theta regolarizzati sulla curva modulare (Appendice A).

• Costanti di Birch-Swinnerton-Dyer (BSD):
  I risultati sono applicati alla congettura raffinata di Birch e Swinnerton-Dyer. Il saggio mostra che il prodotto delle costanti BSD per $E$ e il suo twist quadratico $E(d_k)$ è proporzionale alla derivata centrale $\Lambda'(E/k, 1)$, che è espressa tramite le altezze aritmetiche derivate sopra (Teorema 1.5).

• Connessione con Forme a Peso Semi-Intero:
  Il saggio collega queste derivate centrali ai coefficienti di Fourier di forme Maass a peso semi-intero (Teorema 1.6), estendendo il lavoro precedente di Bruinier, Funke e Imamoglu.

Significato e Rivendicazioni
Il saggio rivendica di fornire una "prospettiva completamente nuova sul lato geometrico" del fenomeno Gross-Zagier utilizzando l'equivalenza di basechange quadratica delle funzioni $L per perfezionare le formule di Gross-Zagier superiore per varietà di Shimura spin di qualsiasi dimensione, specificamente applicata a $X_0(N) \times X_0(N)$.

La significatività risiede nel:

1. Unificazione: Unifica il trattamento dei campi quadratici immaginari e reali all'interno del framework delle funzioni Green automorfe sulle varietà di Shimura.
2. Interpretazione Geometrica: Fornisce un'interpretazione geometrica delle derivate centrali in termini di intersezioni aritmetiche sul prodotto di curve modulari, distinta dalla classica interpretazione dei punti di Heegner.
3. Raffinatezza di BSD: Offre formule esplicite di altezza aritmetica per i termini principali delle funzioni $L nel caso di rango uno, contribuendo alla comprensione della congettura raffinata di BSD.
4. Nuove Prove: Fornisce una prova distinta della formula di Gross-Zagier ed stabilisce relazioni tra diversi tipi di divisori aritmetici (Heegner vs. Hirzebruch-Zagier).

L'autore nota che, sebbene i risultati perfezionino le esistenti formule di Gross-Zagier superiore (Bruinier-Yang, Andreatta et al.), l'applicazione specifica al prodotto di curve modulari e la derivazione esplicita del caso quadratico reale tramite cicli geodetici rappresentano contributi nuovi. Il saggio non pretende di dimostrare la piena congettura BSD, ma piuttosto fornisce le formule di altezza aritmetica che costituirebbero il lato geometrico della congettura nel caso di rango uno.