Arithmetic Hirzebruch-Zagier divisors and central derivative values of Rankin-Selberg $L$-functions

Resumo Técnico: Divisores de Hirzebruch-Zagier Aritméticos e Valores da Derivada Central de Funções L de Rankin-Selberg

Enunciado do Problema
O artigo aborda a interpretação aritmética dos valores da derivada central $\Lambda'(E/k, \chi, 1)$ da função $L$ de Hasse-Weil torcida de uma curva elíptica $E/\mathbb{Q}$ sobre um corpo quadrático $k$ (imaginário ou real), torcida por um caráter $\chi$ do grupo de classes de ideais de $k$. Embora o teorema clássico de Gross-Zagier (Teorema 1.1) relacione essas derivadas às alturas de Néron-Tate de divisores de Heegner na curva modular $X_0(N)$ quando $k$ é quadrático imaginário, este trabalho busca generalizar e refinar tais relações. Especificamente, visa expressar essas derivadas centrais em termos de alturas aritméticas de divisores de Hirzebruch-Zagier no produto de curvas modulares $X_0(N) \times X_0(N)$, e fornecer fórmulas análogas para o caso em que $k$ é um corpo quadrático real.

Metodologia
O autor utiliza o arcabouço da teoria de interseção aritmética em variedades de Shimura, especificamente utilizando a teoria de levantamentos theta regularizados e funções de Green automórficas desenvolvidas por Borcherds, Bruinier e Yang.

1. Configuração Geométrica: O artigo constrói espaços quadráticos racionais $(V_A, Q_A)$ de assinatura $(2,2)$ associados a cada classe de ideal $A$ no grupo de classes $C(\mathcal{O}_k)$. A variedade de Shimura spin associada $X_{K_A}$ é identificada com o produto de curvas modulares $Y_0(N) \times Y_0(N)$ (e sua compactificação $X_0(N) \times X_0(N)$).
2. Formas Automórficas: O autor utiliza formas de Maass fracas harmônicas $f$ de peso $1 - n/2$ e suas imagens sob o operador diferencial de Bruinier-Funke $\xi_l$ para construir funções de Green automórficas $\Phi(f, z, h)$. Essas funções servem como as funções de Green para divisores especiais (divisores de Hirzebruch-Zagier) na variedade de Shimura.
3. Fórmulas de Soma: A principal maquinaria técnica envolve o cálculo das somas dessas funções de Green ao longo de dois tipos de ciclos:
   • Ciclos CM ($Z(V_0)$): Ciclos de dimensão zero associados a corpos quadráticos imaginários (subespaços de assinatura $(0,2)$).
   • Ciclos Geodésicos Reais ($G(W)$): Ciclos de dimensão um associados a corpos quadráticos reais (subespaços de assinatura $(1,1)$).
     Esses cálculos resultam em apresentações integrais envolvendo funções $L de Rankin-Selberg$ e suas derivadas.
4. Equivalências de Funções L: O artigo estabelece equivalências entre as funções $L$ padrão de Rankin-Selberg $\Lambda(s, \phi \times \theta(\chi))$ (onde $\phi$ é a nova forma para $E$ e $\theta(\chi)$ é a série theta) e as funções $L associadas a formas de cusp de peso vetorial na variedade de Shimura via o levantamento de Doi-Naganuma e o basechange quadrático.

Principais Contribuições e Resultados

• Fórmulas de Altura Aritmética para Corpos Quadráticos Imaginários:
  O artigo deriva uma nova fórmula para a derivada central $\Lambda'(E/k, \chi, 1)$ (Teorema 1.4, Teorema 7.7). Ela expressa este valor como uma soma das alturas de Faltings de divisores aritméticos de Hirzebruch-Zagier $\hat{Z}_A(f_{0,A})$ em $X_0(N) \times X_0(N)$ avaliados ao longo de ciclos CM $Z(V_{A,0})$.
  $$\Lambda'(1/2, \phi \times \theta(\chi)) = -2 \sum_{A \in C(\mathcal{O}_k)} \chi(A) [\hat{Z}_A(f_{0,A}) : Z(V_{A,0})]$$
  Isso fornece uma "Gross-Zagier de ordem superior" para o produto de curvas modulares.

• Caso do Corpo Quadrático Real:
  Para corpos quadráticos reais, o artigo fornece uma apresentação integral distinta para a derivada central (Teorema 1.2 (ii), Teorema 6.6 (ii)). Esta fórmula envolve somas de funções de Green automórficas ao longo de ciclos geodésicos reais, combinadas com termos constantes de levantamentos theta e derivadas de integrais regularizadas.

• Relação com a Gross-Zagier Clássica:
  Ao comparar as novas fórmulas com o teorema de Gross-Zagier clássico, o autor estabelece uma identidade entre as alturas aritméticas de divisores de Heegner em $X_0(N)$ e as alturas aritméticas de divisores de Hirzebruch-Zagier em $X_0(N) \times X_0(N)$ (Corolário A.9). Isso oferece uma nova prova da fórmula de Gross-Zagier via levantamentos theta regularizados na curva modular (Apêndice A).

• Constantes de Birch-Swinnerton-Dyer (BSD):
  Os resultados são aplicados à conjectura refinada de Birch e Swinnerton-Dyer. O artigo mostra que o produto das constantes BSD para $E$ e seu torcido quadrático $E(d_k)$ é proporcional à derivada central $\Lambda'(E/k, 1)$, que é expressa via as alturas aritméticas derivadas acima (Teorema 1.5).

• Conexão com Formas de Peso Semi-Inteiro:
  O artigo vincula essas derivadas centrais aos coeficientes de Fourier de formas de Maass de peso semi-inteiro (Teorema 1.6), estendendo o trabalho anterior de Bruinier, Funke e Imamoglu.

Significância e Alegações
O artigo alega fornecer uma "perspectiva completamente nova sobre o lado geométrico" do fenômeno de Gross-Zagier ao utilizar a equivalência de basechange quadrático de funções $L$ para refinar fórmulas de Gross-Zagier de ordem superior para variedades de Shimura spin de qualquer dimensão, especificamente aplicada a $X_0(N) \times X_0(N)$.

A significância reside em:

1. Unificação: Unifica o tratamento de corpos quadráticos imaginários e reais dentro do arcabouço de funções de Green automórficas em variedades de Shimura.
2. Interpretação Geométrica: Fornece uma interpretação geométrica de derivadas centrais em termos de interseções aritméticas no produto de curvas modulares, distinta da interpretação clássica de pontos de Heegner.
3. Refinamento de BSD: Oferece fórmulas explícitas de altura aritmética para os termos principais de funções $L$ no caso de posto um, contribuindo para a compreensão da conjectura refinada de BSD.
4. Novas Provas: Fornece uma prova distinta da fórmula de Gross-Zagier e estabelece relações entre diferentes tipos de divisores aritméticos (Heegner vs. Hirzebruch-Zagier).

O autor observa que, embora os resultados refinem as fórmulas de Gross-Zagier de ordem superior existentes (Bruinier-Yang, Andreatta et al.), a aplicação específica ao produto de curvas modulares e a derivação explícita do caso quadrático real via ciclos geodésicos representam contribuições inéditas. O artigo não afirma provar a conjectura BSD completa, mas sim fornece as fórmulas de altura aritmética que constituiriam o lado geométrico da conjectura no cenário de posto um.