Hybrid Brownian SYK-Hubbard Model: from Spectral Function to Quantum Chaos

Sintesi Tecnica: Modello Ibrido Brownian SYK–Hubbard

Problematica
Comprendere l'emergere di correlazioni complesse nei sistemi quantistici a molti corpi fortemente interagenti rimane una sfida fondamentale a causa della crescita esponenziale dello spazio di Hilbert. Sebbene i modelli giocattolo risolvibili come il modello di Sachdev–Ye–Kitaev (SYK) abbiano fornito intuizioni sul comportamento da non-liquido di Fermi e sul caos massimale, essi si basano tipicamente su interazioni completamente casuali e all-to-all. Questa casualità, pur consentendo la trattabilità analitica tramite espansioni large-$N$, oscura la fisica delle interazioni costanti (non casuali), come l'interazione di Hubbard responsabile delle fasi di isolante di Mott. Inoltre, i modelli standard di tipo SYK presentano una specifica struttura a "diagrammi a scala" (ladder-diagram) nei loro correlatori fuori dal tempo (OTOC), che impone un limite al tempo di ramificazione (branching time), potenzialmente limitando la loro capacità di descrivere la sub-AdS holografia. Gli autori mirano a costruire un modello risolvibile che ibridi la dinamica casuale del modello SYK browniano con le interazioni di Hubbard costanti on-site per studiare l'interazione tra la dinamica casuale non locale e gli effetti di correlazione locale.

Metodologia
Gli autori introducono il modello Brownian SYK–Hubbard, definito su $N$ siti, dove ogni sito ospita quattro modi di fermioni di Majorana. L'Hamiltoniana consiste di due termini:

1. Interazione Brownian SYK: Interazioni $q$-body casuali e tempo-dipendenti che agiscono tra i siti per ogni flavor (modo), soddisfacendo specifiche condizioni di varianza.
2. Interazione di Hubbard: Un'interazione a quattro Majorana costante e on-site ($U \chi_{i1}\chi_{i2}\chi_{i3}\chi_{i4}$), che corrisponde alla standard interazione di Hubbard a metà riempimento (half-filling) quando mappata a fermioni complessi.

L'approccio analitico sfrutta il limite large-$N$ e il formalismo del cammino di Keldysh.

• Funzione a due punti: La media del disordine sulle accoppiate Brownian viene eseguita, introducendo campi di auto-energia ausiliaria ($\Sigma$) e funzione di Green ($G$). A differenza dei modelli SYK statici, la natura browniana permette alla auto-energia di essere trattata come una semplice funzione delta nel tempo. Gli autori dimostrano che il problema a molti corpi si riduce a un problema efficace a singolo sito accoppiato a un ambiente. Questa dinamica efficace a singolo sito è mappata su un'evoluzione non unitaria generata da un'Hamiltoniana efficace ($H_{\text{eff}}$), che può essere risolta esattamente tramite diagonalizzazione esatta grazie al piccolo numero di modi (8 Majorana per sito).
• Fattore di forma spettrale (SFF): Il calcolo coinvolge un integrale di cammino con condizioni al contorno periodiche. Gli autori eseguono un'analisi di punto di sella, identificando i punti di sella "diagonali" (disconnessi) e "connessi". L'SFF è determinato massimizzando un'azione che coinvolge la traccia dell'operatore di evoluzione efficace a singolo sito.
• Correlatore fuori dal tempo (OTOC): L'OTOC è analizzato utilizzando un doppio contorno di Keldysh (quattro rami). Gli autori derivano un'equazione auto-consistente per l'OTOC coinvolgendo una serie di diagrammi a scala generalizzati. Il "piolo" (rung) della scala è computato utilizzando l'Hamiltoniana efficace su un sistema a 16 modi (quattro rami $\times$ quattro modi). L'esponente di Lyapunov quantistico ($\kappa$) e il tempo di ramificazione ($t_B$) vengono estratti risolvendo l'equazione degli autovalori dell'operatore integrale che governa la serie diagrammatica.

Risultati Chiave

1. Funzione Spettrale e Mottness:

   • La funzione spettrale a singola particella esibisce una transizione dinamica all'aumentare della forza dell'interazione di Hubbard $U$ rispetto al tasso di decadimento browniano $\Gamma_0$.
   • Per $U \leq \Gamma_0$, la funzione di Green decade monotonicamente e la funzione spettrale mostra un singolo picco a $\omega=0$.
   • Per $U > \Gamma_0$, la funzione di Green transita verso un decadimento oscillatorio e la funzione spettrale sviluppa una struttura a due picchi separata da una caratteristica di tipo gap. Questo segnala l'insorgenza della "Mottness" (fisica di Mott), sebbene il sistema rimanga privo di gap a causa del riempimento del gap da parte delle interazioni browniane.

2. Dinamica del Fattore di Forma Spettrale (SFF):

   • L'SFF mostra una sequenza di transizioni dinamiche tra la sella diagonale (dominante ai tempi brevi) e la sella connessa (dominante ai tempi lunghi).
   • In presenza di forti interazioni di Hubbard ($U > \Gamma_0$), il contributo diagonale esibisce oscillazioni persistenti con molteplici zeri. Ciò porta a una serie di transizioni in cui la sella connessa supera ripetutamente la sella diagonale al variare del tempo.
   • Il numero di queste transizioni dinamiche aumenta con il rapporto $U/\Gamma_0$.

3. Caos Quantistico e Tempo di Ramificazione:

   • L'esponente di Lyapunov quantistico $\kappa$ aumenta monotonicamente con l'interazione di Hubbard $U$, indicando che le forti correlazioni locali potenziano il caos a molti corpi.
   • Crucialmente, il tempo di ramificazione $t_B$, che caratterizza la stabilità dell'esponente di Lyapunov, viola il convenzionale limite $t_B(\kappa + \Gamma) \leq 2$ derivato per modelli con strutture semplici di diagrammi a scala. Questa violazione è osservata esplicitamente per $q=2$ a intensità di interazione intermedie.

Significato e Rivendicazioni
Il lavoro sostiene di aver stabilito una nuova piattaforma analiticamente trattabile per esplorare gli effetti delle interazioni di Hubbard in sistemi a molti corpi caotici. Combinando le accoppiate casuali Brownian con termini di Hubbard costanti, il modello colma il divario tra i modelli casuali risolvibili e i materiali correlati realistici.

Gli autori enfatizzano tre contributi principali:

1. Solvibilità Analitica con Interazioni Locali: Il modello dimostra che le strutture risolvibili possono essere mantenute anche introducendo interazioni costanti che rompono la standard struttura tensoriale large-$N$, a condizione che le interazioni casuali siano tempo-dipendenti (Brownian).
2. Osservazione della Mottness in Sistemi Caotici: Il modello cattura con successo la transizione verso una funzione spettrale a due picchi, un segno distintivo della fisica di Mott, all'interno di un framework di liquido non-Fermi e caotico.
3. Oltre i Paradigmi Standard SYK: La violazione del limite del tempo di ramificazione suggerisce che il modello Brownian SYK–Hubbard appartenga a una classe più ampia di modelli risolvibili che potrebbero offrire nuove intuizioni sulle dualità olografiche e sulla fisica sub-AdS, sfidando i limiti delle tradizionali approssimazioni a diagrammi a scala nei sistemi di tipo SYK.

Il lavoro conclude notando che, sebbene l'analisi attuale si concentri su funzioni di correlazione e proprietà spettrali, il framework apre la strada allo studio della dinamica dell'entanglement e delle soluzioni di wormhole di replica in presenza di forti interazioni locali.