Hybrid Brownian SYK-Hubbard Model: from Spectral Function to Quantum Chaos

Résumé Technique : Modèle Hybride Brownian SYK–Hubbard

Énoncé du Problème
Comprendre l'émergence de corrélations complexes dans les systèmes quantiques à corps multiples fortement interagissants demeure un défi fondamental en raison de la croissance exponentielle de l'espace de Hilbert. Bien que des modèles jouets solubles comme le modèle de Sachdev–Ye–Kitaev (SYK) aient fourni des aperçus sur le comportement de liquide non-Fermi et le chaos maximal, ils reposent typiquement sur des interactions aléatoires complètes et globales (all-to-all). Ce caractère aléatoire, bien qu'il permette la tractabilité analytique via des expansions en grand-$N$, occulte la physique des interactions constantes (non aléatoires), telles que l'interaction de Hubbard responsable des phases isolantes de Mott. De plus, les modèles de type SYK standard présentent une structure spécifique de « diagrammes en échelle » dans leurs corrélateurs hors temps d'ordre (OTOC), ce qui impose une limite sur le temps de ramification (branching time), limitant potentiellement leur capacité à décrire la sub-AdS holographie. Les auteurs visent à construire un modèle soluble qui hybride la dynamique aléatoire du modèle SYK brownien avec les interactions de Hubbard constantes sur site pour étudier l'interrelation entre la dynamique aléatoire non locale et les effets de corrélation locale.

Méthodologie
Les auteurs introduisent le modèle Brownian SYK–Hubbard, défini sur $N$ sites, où chaque site héberge quatre modes de fermions de Majorana. Le Hamiltonien se compose de deux termes :

1. Interaction SYK Brownienne : Des interactions $q$-corps aléatoires et dépendantes du temps agissant entre les sites pour chaque saveur (mode), satisfaisant des conditions de variance spécifiques.
2. Interaction de Hubbard : Une interaction constante de quatre Majorana sur site ($U \chi_{i1}\chi_{i2}\chi_{i3}\chi_{i4}$), qui correspond à l'interaction de Hubbard standard à demi-remplissage lors du passage aux fermions complexes.

L'approche analytique s'appuie sur la limite de grand-$N$ et le formalisme de chemin de Keldysh.

• Fonction à deux points : La moyenne de désordre sur les couplages browniens est effectuée, introduisant des champs de self-énergie auxiliaire ($\Sigma$) et de fonction de Green ($G$). Contrairement aux modèles SYK statiques, la nature brownienne permet de traiter la self-énergie comme une simple fonction delta en temps. Les auteurs démontrent que le problème à corps multiples se réduit à un problème de site unique effectif couplé à un environnement. Cette dynamique de site unique effectif est mappée sur une évolution non unitaire générée par un Hamiltonien effectif ($H_{\text{eff}}$), qui peut être résolu exactement par diagonalisation exacte en raison du petit nombre de modes (8 Majoranas par site).
• Facteur de forme spectral (SFF) : Le calcul implique une intégrale de chemin avec des conditions aux limites périodiques. Les auteurs effectuent une analyse de point-selle, identifiant des points-selles « diagonaux » (déconnectés) et « connectés ». Le SFF est déterminé en maximisant une action impliquant la trace de l'opérateur d'évolution de l'évolution de site unique effectif.
• Corrélateur hors temps d'ordre (OTOC) : L'OTOC est analysé à l'aide d'un double contour de Keldysh (quatre branches). Les auteurs dérivent une équation auto-cohérente pour l'OTOC impliquant une série de diagrammes en échelle généralisés. L'« échelon » de l'échelle est calculé en utilisant l'Hamiltonien effectif sur un système à 16 modes (quatre branches $\times$ quatre modes). L'exposant de Lyapunov quantique ($\kappa$) et le temps de ramification ($t_B$) sont extraits en résolvant l'équation de valeur propre de l'opérateur intégral régissant la série diagrammatique.

Résultats Clés

1. Fonction spectrale et Mottness :

   • La fonction spectrale à particule unique présente une transition dynamique lorsque l'intensité de l'interaction de Hubbard $U$ augmente par rapport au taux de décroissance brownien $\Gamma_0$.
   • Pour $U \leq \Gamma_0$, la fonction de Green décroît de manière monotone, et la fonction spectrale présente un pic unique à $\omega=0$.
   • Pour $U > \Gamma_0$, la fonction de Green passe à une décroissance oscillatoire, et la fonction spectrale développe une structure à deux pics séparée par une caractéristique de type gap. Cela signale l'apparition de la « Mottness » (physique de Mott), bien que le système reste sans gap en raison du remplissage du gap par les interactions browniennes.

2. Dynamique du Facteur de Forme Spectral (SFF) :

   • Le SFF affiche une séquence de transitions dynamiques entre le point-selle diagonal (dominant à court terme) et le point-selle connecté (dominant à long terme).
   • En présence d'interactions de Hubbard fortes ($U > \Gamma_0$), la contribution diagonale présente des oscillations persistantes avec de multiples zéros. Cela conduit à une série de transitions où le point-selle connecté supplante de manière répétée le point-selle diagonal au cours de l'évolution temporelle.
   • Le nombre de ces transitions dynamiques augmente avec le rapport $U/\Gamma_0$.

3. Chaos Quantique et Temps de Ramification :

   • L'exposant de Lyapunov quantique $\kappa$ augmente de manière monotone avec l'interaction de Hubbard $U$, indiquant que des corrélations locales plus fortes renforcent le chaos à corps multiples.
   • Crucialement, le temps de ramification $t_B$, qui caractérise la stabilité de l'exposant de Lyapunov, viole la borne conventionnelle $t_B(\kappa + \Gamma) \leq 2$ dérivée pour les modèles possédant des structures de diagrammes en échelle simples. Cette violation est explicitement observée pour $q=2$ à des intensités d'interaction intermédiaires.

Signification et Revendications
L'article affirme établir une nouvelle plateforme analytiquement traitable pour explorer les effets des interactions de Hubbard dans les systèmes chaotiques à corps multiples. En combinant les couplages aléatoires browniens avec des termes de Hubbard constants, le modèle comble le fossé entre les modèles aléatoires solubles et les matériaux corrélés réalistes.

Les auteurs soulignent trois contributions principales :

1. Solubilité Analytique avec Interactions Locales : Le modèle démontre que des structures solubles peuvent être maintenues même en introduisant des interactions constantes qui brisent la structure standard de tenseur grand-$N$, à condition que les interactions aléatoires soient dépendantes du temps (browniennes).
2. Observation de la Mottness dans les Systèmes Chaotiques : Le modèle capture avec succès la transition vers une fonction spectrale à deux pics, une marque distinctive de la physique de Mott, au sein d'un cadre de liquide non-Fermi chaotique.
3. Au-delà des Paradigmes SYK Standards : La violation de la borne du temps de ramification suggère que le modèle Brownian SYK–Hubbard appartient à une classe plus large de modèles solubles qui peuvent offrir de nouvelles perspectives sur les dualités holographiques et la physique sub-AdS, défiant les limitations des approximations traditionnelles de diagrammes en échelle dans les systèmes de type SYK.

L'étude conclut en notant que bien que l'analyse actuelle se concentre sur les fonctions de corrélation et les propriétés spectrales, le cadre ouvre des voies pour l'étude de la dynamique de l'intrication et des solutions de trous de ver de répliques en présence d'interactions locales fortes.