Hybrid Brownian SYK-Hubbard Model: from Spectral Function to Quantum Chaos

Resumen Técnico: Modelo Híbrido Browniano SYK–Hubbard

Planteamiento del Problema
Comprender la emergencia de correlaciones complejas en sistemas cuánticos de muchos cuerpos fuertemente interactuantes sigue siendo un desafío fundamental debido al crecimiento exponencial del espacio de Hilbert. Aunque los modelos de juguete resolubles como el modelo de Sachdev–Ye–Kitaev (SYK) han proporcionado conocimientos sobre el comportamiento de líquido no-Fermi y el caos máximo, estos dependen típicamente de interacciones aleatorias de todos contra todos. Esta aleatoriedad, si bien permite la tratabilidad analítica mediante expansiones de gran-$N$, oscurece la física de las interacciones constantes (no aleatorias), como la interacción de Hubbard responsable de las fases de aislante de Mott. Además, los modelos tipo SYK estándar exhiben una estructura específica de "diagramas de escalera" en sus correladores de fuera de tiempo (OTOCs) que impone un límite al tiempo de ramificación, lo que potencialmente limita su capacidad para describir la holografía sub-AdS. Los autores pretenden construir un modelo resoluble que hibride la dinámica aleatoria del modelo SYK browniano con las interacciones de Hubbard constantes en el sitio para estudiar la interacción entre la dinámica aleatoria no local y los efectos de correlación local.

Metodología
Los autores introducen el modelo Browniano SYK–Hubbard, definido en $N$ sitios, donde cada sitio alberga cuatro modos de fermiones de Majorana. El Hamiltoniano consta de dos términos:

1. Interacción SYK Browniana: Interacciones de $q$ cuerpos, aleatorias y dependientes del tiempo, que actúan entre sitios para cada sabor (modo), satisfaciendo condiciones de varianza específicas.
2. Interacción de Hubbard: Una interacción constante de cuatro Majorana en el sitio ($U \chi_{i1}\chi_{i2}\chi_{i3}\chi_{i4}$), que corresponde a la interacción de Hubbard estándar en medio llenado cuando se mapea a fermiones complejos.

El enfoque analítico aprovecha el límite de gran-$N$ y el formalismo de la integral de camino de Keldysh.

• Función de dos puntos: El promedio de desorden sobre los acoplamientos brownianos se realiza introduciendo campos de autoenergía auxiliar ($\Sigma$) y de la función de Green ($G$). A diferencia de los modelos SYK estáticos, la naturaleza browniana permite que la autoenergía sea tratada como una función delta simple en el tiempo. Los autores demuestran que el problema de muchos cuerpos se reduce a un problema de un solo sitio efectivo acoplado a un entorno. Esta dinámica efectiva de un solo sitio se mapea a una evolución no unitaria generada por un Hamiltoniano efectivo ($H_{\text{eff}}$), que puede resolverse exactamente mediante diagonalización exacta debido al pequeño número de modos (8 Majoranas por sitio).
• Factor de Forma Espectral (SFF): El cálculo involucra una integral de camino con condiciones de contorno periódicas. Los autores realizan un análisis de punto de silla, identificando puntos de silla "diagonales" (desconectados) y "conectados". El SFF se determina maximizando una acción que involucra la traza del operador de evolución de un solo sitio efectivo.
• Correlador de Fuera de Tiempo (OTOC): El OTOC se analiza utilizando un contorno de Keldysh doble (cuatro ramas). Los autores derivan una ecuación autoconsistente para el OTOC que involucra una serie de diagramas de escalera generalizados. El "peldaño" de la escalera se calcula utilizando el Hamiltoniano efectivo en un sistema de 16 modos (cuatro ramas $\times$ cuatro modos). El exponente de Lyapunov cuántico ($\kappa$) y el tiempo de ramificación ($t_B$) se extraen resolviendo la ecuación de autovalores del operador integral que gobierna la serie diagramática.

Resultos Clave

1. Función Espectral y Mottness:

   • La función espectral de partícula única exhibe una transición dinámica a medida que la fuerza de la interacción de Hubbard $U$ aumenta respecto a la tasa de decaimiento browniano $\Gamma_0$.
   • Para $U \leq \Gamma_0$, la función de Green decae monotonicamente y la función espectral muestra un pico único en $\omega=0$.
   • Para $U > \Gamma_0$, la función de Green transiciona hacia un decaimiento oscilatorio, y la función espectral desarrolla una estructura de dos picos separada por una característica de tipo brecha (gap). Esto señala el inicio de la "Mottness" (física de Mott), aunque el sistema permanece sin brecha debido al llenado de la misma por las interacciones brownianas.

2. Dinámica del Factor de Forma Espectral (SFF):

   • El SFF muestra una secuencia de transiciones dinámicas entre el punto de silla diagonal (dominante a tiempos cortos) y el punto de silla conectado (dominante a tiempos largos).
   • En presencia de interacciones de Hubbard fuertes ($U > \Gamma_0$), la contribución diagonal exhibe oscilaciones persistentes con múltiples ceros. Esto conduce a una serie de transiciones donde el punto de silla conectado supera repetidamente al punto de silla diagonal a medida que el tiempo evoluciona.
   • El número de estas transiciones dinámicas aumenta con la relación $U/\Gamma_0$.

3. Caos Cuántico y Tiempo de Ramificación:

   • El exponente de Lyapunov cuántico $\kappa$ aumenta monotonicamente con la interacción de Hubbard $U$, indicando que las correlaciones locales más fuertes potencian el caos de muchos cuerpos.
   • Crucialmente, el tiempo de ramificación $t_B$, que caracteriza la estabilidad del exponente de Lyapunov, viola el límite convencional $t_B(\kappa + \Gamma) \leq 2$ derivado para modelos con estructuras simples de diagramas de escalera. Esta violación se observa explícitamente para $q=2$ en fuerzas de interacción intermedias.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma establecer una nueva plataforma analíticamente tratable para explorar los efectos de las interacciones de Hubbard en sistemas de muchos cuerpos caóticos. Al combinar acoplamientos aleatorios brownianos con términos de Hubbard constantes, el modelo cierra la brecha entre los modelos aleatorios resolubles y los materiales correlacionados realistas.

Los autores enfatizan tres contribuciones principales:

1. Resolubilidad Analítica con Interacciones Locales: El modelo demuestra que se pueden mantener estructuras resolubles incluso al introducir interacciones constantes que rompen la estructura estándar de tensor de gran-$N$, siempre que las interacciones aleatorias sean dependientes del tiempo (brownianas).
2. Observación de la Mottness en Sistemas Caóticos: El modelo captura con éxito la transición hacia una función espectral de dos picos, un sello distintivo de la física de Mott, dentro de un marco de líquido no-Fermi caótico.
3. Más allá de los Paradigmas Estándar de SYK: La violación del límite del tiempo de ramificación sugiere que el modelo Browniano SYK–Hubbard pertenece a una clase más amplia de modelos resolubles que pueden ofrecer nuevos conocimientos sobre las dualidades holográficas y la física sub-AdS, desafiando las limitaciones de las aproximaciones tradicionales de diagramas de escalera en sistemas tipo SYK.

El trabajo concluye señalando que, si bien el análisis actual se centra en las funciones de correlación y las propiedades espectrales, el marco abre vías para estudiar la dinámica de entrelazamiento y las soluciones de gusanos de réplica en presencia de fuertes interacciones locales.