The zero capillarity limit for the Euler-Korteweg system with no-flux boundary conditions

1. Il Problema Studiato

Il documento analizza il limite di dispersione nulla (o limite di capillarità nulla, $\varepsilon \to 0$) per il sistema di Euler-Korteweg (EK) in un dominio $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ con bordo regolare, soggetto a condizioni al contorno di flusso nullo (no-flux).

Il sistema EK descrive l'evoluzione di un fluido comprimibile inviscido soggetto a forze capillari auto-consistenti:
$$\begin{cases} \partial_t \rho + \text{div}(\rho u) = 0 \\ \partial_t(\rho u) + \text{div}(\rho u \otimes u) + \nabla p(\rho) = \varepsilon^2 \rho \nabla \left( \text{div}(k(\rho)\nabla\rho) - \frac{1}{2}k'(\rho)|\nabla\rho|^2 \right) \end{cases}$$
con condizioni iniziali $(\rho_0, J_0)$ e condizioni al contorno:
$$u \cdot n|_{\partial\Omega} = 0, \quad \partial_n \rho|_{\partial\Omega} = 0.$$

L'obiettivo è dimostrare la convergenza delle soluzioni deboli a energia finita del sistema EK verso le soluzioni forti del sistema di Euler comprimibile (il limite $\varepsilon=0$):
$$\begin{cases} \partial_t \rho_E + \text{div}(\rho_E u_E) = 0 \\ \partial_t(\rho_E u_E) + \text{div}(\rho_E u_E \otimes u_E) + \nabla p(\rho_E) = 0 \end{cases}$$
con la condizione al contorno $u_E \cdot n|_{\partial\Omega} = 0$.

La sfida principale: Esiste un mismatch (disallineamento) tra le condizioni al contorno. Il sistema EK impone $\partial_n \rho = 0$ (flusso nullo della densità), mentre il sistema di Euler limite impone solo $u_E \cdot n = 0$. Questo disallineamento genera tipicamente la formazione di uno strato limite (boundary layer) vicino al bordo quando $\varepsilon \to 0$, rendendo difficile la convergenza forte del gradiente della densità.

2. Metodologia

Gli autori utilizzano un approccio basato sull'energia relativa (o entropia relativa), uno strumento consolidato per studiare la stabilità e i limiti singolari nelle equazioni alle derivate parziali.

A. Funzionali di Energia Relativa

1. Energia Relativa Standard ($E$):
   Viene definito un funzionale che misura la distanza tra la soluzione debole $(\rho, J)$ e la soluzione forte $(\rho_E, u_E)$, includendo l'energia cinetica, l'energia interna relativa e l'energia capillare.
   $$E(\rho, J | \rho_E, u_E) = \int_\Omega \left( \frac{1}{2}|\Lambda - \sqrt{\rho}u_E|^2 + f(\rho|\rho_E) + \frac{\varepsilon^2}{2}|\nabla\beta(\rho)|^2 \right) dx$$
   dove $\Lambda = \sqrt{\rho}u$ è la pseudovelocità e $\beta(\rho)$ è una funzione ausiliaria legata all'energia capillare.

2. Energia Relativa Augmentata ($E_h$):
   Per controllare la convergenza del gradiente della densità (necessaria per gestire lo strato limite), gli autori introducono un funzionale di ordine superiore. L'idea chiave è interpretare l'energia capillare come energia cinetica associata a un campo di velocità ausiliario $v(\rho) = \nabla \theta(\rho)$, dove $\theta$ è legato alla capillarità.
   $$E_h = E + \text{termini cinetici relativi per } v$$
   Questo approccio è ispirato alle formulazioni "augmentate" dei modelli di fluidi capillari (es. Bresch et al.) e ricorda la trasformazione di Madelung per i fluidi quantistici.

B. Correzione dello Strato Limite

Poiché la soluzione di Euler $(\rho_E, u_E)$ non soddisfa in generale la condizione $\partial_n \rho_E = 0$ (e quindi $v(\rho_E) \cdot n \neq 0$), non può essere usata direttamente come funzione di test nel funzionale $E_h$ senza generare errori al bordo.

• Gli autori introducono una correzione dello strato limite $v_{bl}$, costruita tramite una funzione di taglio $\chi$ e la distanza dal bordo $d_\Omega(x)$.
• La funzione di test corretta è definita come $v_{bl}^{corr} = v(\rho_E) - v_{bl}$, che soddisfa rigorosamente la condizione di Neumann omogenea richiesta dal sistema originale.
• A differenza del limite di viscosità nulla (dove lo strato limite è forte e richiede condizioni aggiuntive sulla dissipazione di energia anomala), in questo limite di capillarità nulla lo strato limite è più debole. Di conseguenza, l'approccio dell'energia relativa riesce ad assorbire gli errori dello strato limite senza richiedere ipotesi aggiuntive sulla concentrazione dell'energia capillare.

3. Contributi Chiave

1. Generalità del Modello: Il risultato vale per una classe generale di coefficienti di capillarità $k(\rho) = c_\alpha \rho^\alpha$ (con $\alpha \ge -1$) e leggi di stato barotropiche $p(\rho) = \rho^\gamma$, estendendo risultati precedenti limitati a domini periodici o al caso specifico dei fluidi quantistici (QHD, dove $k(\rho) \propto 1/\rho$).
2. Gestione del Bordo: È la prima analisi rigorosa che tratta il limite di capillarità nulla per il sistema EK su domini con bordo non banale e condizioni di flusso nullo, gestendo esplicitamente la formazione dello strato limite tramite una correzione nella funzione di test.
3. Assenza di Ipotesi di Concentrazione Anomala: A differenza dei limiti di viscosità nulla (dove spesso serve assumere che l'energia dissipata al bordo sia nulla), qui la struttura conservativa del sistema EK e la natura più debole dello strato limite permettono di evitare tali condizioni aggiuntive.
4. Convergenza del Gradiente: Dimostrano non solo la convergenza della densità e della quantità di moto, ma anche la convergenza forte del gradiente della densità (scalato con $\varepsilon$), fornendo informazioni più dettagliate sulla struttura della soluzione vicino al bordo rispetto a risultati precedenti.

4. Risultati Principali

Il teorema principale (Teorema 2.12) stabilisce che, sotto opportune condizioni di regolarità per i dati iniziali e la soluzione di Euler limite:

• Se l'energia relativa iniziale (corretta) tende a zero, allora:
  $$\|\rho^\varepsilon - \rho_E\|_{L^\infty(L^1 \cap L^\gamma)} + \|\Lambda^\varepsilon - \sqrt{\rho^\varepsilon}u_E\|_{L^\infty(L^2)} + \varepsilon \|\nabla\beta(\rho^\varepsilon) - \sqrt{\rho^\varepsilon}v_E\|_{L^\infty(L^2)} \to 0$$
  al tendere di $\varepsilon \to 0$.
• Viene fornita una stima esplicita del tasso di convergenza (ordine $O(\varepsilon)$ o simile, dipendente dalla dimensione $d$ e dall'esponente $\alpha$) per dati iniziali ben preparati.
• La dimostrazione si basa su una disuguaglianza di Grönwall applicata al funzionale di energia relativa augmentata, dove i termini di resto (derivanti dallo strato limite e dall'approssimazione) sono controllati e mostrati essere di ordine superiore rispetto all'energia stessa.

5. Significato e Impatto

• Teorico: Il lavoro colma un divario significativo nella teoria dei limiti singolari per i fluidi dispersivi, dimostrando che le tecniche di energia relativa possono essere adattate con successo a problemi con condizioni al contorno complesse e strati limite, senza ricorrere a ipotesi restrittive sulla dissipazione.
• Fisico: Fornisce una giustificazione matematica rigorosa del passaggio da modelli di fluidi con interfaccia diffusa (come i modelli di Korteweg o i condensati di Bose-Einstein) a modelli di fluidi classici con interfacce nette, anche in presenza di pareti solide.
• Metodologico: L'uso della correzione dello strato limite all'interno del funzionale di energia relativa offre un nuovo paradigma che potrebbe essere applicato ad altri limiti singolari in fluidodinamica con condizioni al contorno non banali.

In sintesi, il paper dimostra che il limite di capillarità nulla per il sistema di Euler-Korteweg è ben posto in termini di convergenza delle soluzioni, anche in presenza di bordi, grazie a una sofisticata analisi energetica che controlla esplicitamente gli effetti dello strato limite.