The zero capillarity limit for the Euler-Korteweg system with no-flux boundary conditions

1. Problématique et Contexte

L'article étudie la limite de dispersion faible (ou limite de capillarité nulle) pour le système d'Euler-Korteweg (EK) dans un domaine $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ possédant une frontière régulière $\partial\Omega$. Le système décrit l'évolution temporelle d'un écoulement compressible, non visqueux, soumis à des forces capillaires auto-cohérentes.

Le système (1.1) est donné par :
$$\begin{cases} \partial_t\rho + \text{div}(\rho u) = 0, \\ \partial_t(\rho u) + \text{div}(\rho u \otimes u) + \nabla p(\rho) = \varepsilon^2 \rho \nabla \left( \text{div}(k(\rho)\nabla\rho) - \frac{1}{2}k'(\rho)|\nabla\rho|^2 \right), \end{cases}$$
où $\varepsilon > 0$ est un petit paramètre de dispersion (capillarité), $p(\rho) = \rho^\gamma$ ($\gamma > 1$) est la pression barotrope, et $k(\rho) = c_\alpha \rho^\alpha$ est le coefficient de capillarité.

Le problème est complété par des conditions aux limites sans flux (no-flux) :
$$u \cdot n|_{\partial\Omega} = 0, \quad \partial_n \rho|_{\partial\Omega} = 0.$$

L'objectif est de démontrer la convergence des solutions faibles à énergie finie du système EK vers les solutions fortes du système d'Euler compressible classique (sans terme de capillarité) lorsque $\varepsilon \to 0$. Une difficulté majeure réside dans le mismatch (incompatibilité) des conditions aux limites : le système limite (Euler) ne conserve que la condition $u_E \cdot n = 0$, tandis que le système EK impose également $\partial_n \rho = 0$. Cette incompatibilité engendre la formation d'une couche limite près de la frontière dans la limite $\varepsilon \to 0$.

2. Méthodologie

Les auteurs utilisent une approche basée sur la méthode de l'énergie relative (relative energy method), un outil puissant pour étudier la stabilité et les limites singulières des équations aux dérivées partielles.

A. Énergie Relative Standard

Pour la convergence des variables hydrodynamiques de base ($\rho, u$), ils définissent une fonctionnelle d'énergie relative $E(\rho, J | r, U)$ comparant la solution faible $(\rho, J)$ à une solution forte $(\rho_E, u_E)$ du système d'Euler. Cette fonctionnelle inclut l'énergie cinétique, l'énergie interne relative et l'énergie capillaire.

B. Énergie Relative Augmentée et Champs Auxiliaires

Pour traiter la convergence du gradient de densité (nécessaire pour capturer la couche limite), les auteurs introduisent une énergie relative augmentée $E_h$. L'idée clé est d'interpréter l'énergie capillaire comme une énergie cinétique associée à un champ de vitesse auxiliaire $v(\rho)$ :
$$v(\rho) = \sqrt{\frac{k(\rho)}{\rho}} \nabla \rho = \nabla \theta(\rho).$$
Cela permet de reformuler le terme dispersif et de définir une énergie totale incluant le terme $\varepsilon^2 \rho |v|^2$.

C. Correction de la Couche Limite

Le défi principal est que la solution forte limite $(\rho_E, u_E)$ ne satisfait pas la condition de Neumann homogène $\partial_n \rho_E = 0$ (donc $v(\rho_E) \cdot n \neq 0$). Pour contourner cela, les auteurs construisent une correction de couche limite $v_{bl}$ :

1. Ils définissent une fonction de troncature $\chi$ dépendant de la distance à la frontière $d_\Omega(x)$.
2. Ils construisent un champ correcteur $v_{bl}$ tel que le champ test corrigé $v_{bl}^{corr} = v(\rho_E) - v_{bl}$ satisfasse rigoureusement la condition de bord $v_{bl}^{corr} \cdot n = 0$.
3. L'énergie relative est alors évaluée par rapport à ce champ corrigé.

D. Estimations et Inégalités

L'analyse repose sur la dérivation d'une inégalité de type Grönwall pour l'énergie relative. Les auteurs décomposent le terme de reste (remainder) en trois parties :

• $R_{rel}$ : Erreurs liées à la différence entre les solutions (contrôlées par l'énergie relative elle-même).
• $R_{bl}$ : Erreurs générées par la correction de couche limite $v_{bl}$.
• $R_{in}$ : Erreurs dues au fait que la solution d'Euler n'est pas une solution exacte du système EK (termes dispersifs résiduels).

Une contribution technique majeure est la démonstration que les termes $R_{bl}$ peuvent être contrôlés sans hypothèse supplémentaire sur la concentration d'énergie capillaire, contrairement aux limites de viscosité nulle.

3. Résultats Principaux

Théorème 2.6 : Convergence des variables hydrodynamiques

Sous des hypothèses de régularité appropriées pour la solution forte d'Euler et des données initiales bien préparées (convergence de l'énergie relative initiale vers 0), les auteurs prouvent que :
$$\|\rho^\varepsilon - \rho_E\|_{L^\infty(L^1 \cap L^\gamma)} + \|\Lambda^\varepsilon - \sqrt{\rho^\varepsilon}u_E\|_{L^\infty(L^2)} \to 0 \quad \text{lorsque } \varepsilon \to 0.$$
Ceci établit la convergence forte des densités et des impulsions, indépendamment de la formation de la couche limite pour la densité elle-même.

Théorème 2.12 : Convergence du gradient et de la couche limite

C'est le résultat principal et le plus fin de l'article. En utilisant l'énergie relative augmentée $E_h$ et la correction de couche limite, ils prouvent la convergence du gradient de densité (ou de la vitesse auxiliaire) :
$$\varepsilon \|\nabla \beta(\rho^\varepsilon) - \sqrt{\rho^\varepsilon} v_E\|_{L^\infty(L^2)} \to 0.$$
Cela signifie que la solution du système EK converge vers la solution d'Euler, et que l'écart dans le gradient de densité (la couche limite) est bien contrôlé et d'ordre $\varepsilon$.

4. Contributions Clés et Innovations

1. Traitement des Conditions aux Limites Non Triviales : Contrairement à la plupart des travaux antérieurs sur les limites singulières (souvent en espace tout entier ou périodique), cet article gère rigoureusement les conditions aux limites de type Neumann/No-flux sur un domaine borné ou extérieur.
2. Absence d'Hypothèses de Concentration d'Énergie : Dans les limites de viscosité nulle (problème de Kato), la preuve nécessite souvent d'assumer a priori que la dissipation d'énergie anormale à la frontière est nulle. Ici, les auteurs montrent que la limite de capillarité nulle génère une couche limite plus faible que celle de la viscosité. Grâce à la structure conservative du système EK et à l'approche par énergie relative augmentée, ils n'ont pas besoin d'imposer de conditions supplémentaires sur la concentration de l'énergie capillaire près de la frontière.
3. Généralité du Modèle : Les résultats s'appliquent à une classe générale de coefficients de capillarité $k(\rho) = c_\alpha \rho^\alpha$ (incluant le cas des fluides quantiques où $\alpha = -1$), et non seulement au cas spécifique de l'équation de Schrödinger non linéaire.
4. Régularité des Données Initiales : L'analyse requiert moins de régularité sur les données initiales que les approches basées sur le développement asymptotique complet (WKB), s'appliquant aux solutions faibles à énergie finie.

5. Signification et Impact

Ce travail fournit une justification rigoureuse de la transition entre les modèles de fluides capillaires (Euler-Korteweg) et les modèles d'écoulement compressible classique (Euler) en présence de frontières.

• Théorique : Il comble un vide dans la littérature concernant les limites singulières avec conditions aux limites non triviales, en démontrant que la méthode de l'énergie relative peut être adaptée pour absorber les erreurs de couche limite sans hypothèses restrictives sur la dissipation.
• Physique : Les résultats sont pertinents pour la modélisation de fluides complexes tels que les condensats de Bose-Einstein, l'hélium superfluide, ou les mélanges liquide-vapeur avec interfaces diffuses, où les effets de surface et les conditions aux limites jouent un rôle crucial.
• Méthodologique : L'introduction de la correction de couche limite via un champ de vitesse auxiliaire dans le cadre de l'énergie relative augmentée ouvre la voie à l'étude d'autres limites singulières impliquant des termes de haut ordre et des conditions aux limites complexes.

En résumé, l'article démontre que, malgré la présence d'une couche limite, la dynamique macroscopique du système Euler-Korteweg converge vers celle du système d'Euler, et ce, de manière robuste et sans hypothèses supplémentaires sur le comportement de l'énergie à la frontière.