Physics-Informed Neural Networks for Nonlinear Output Regulation

1. Enunciato del Problema

Il lavoro affronta il problema della regolazione dell'uscita non lineare per sistemi in cui sia lo stato del processo ($x$) sia lo stato del sistema esogeno ($w$) sono noti (configurazione a informazione completa). L'obiettivo è progettare una legge di controllo in retroazione tale che l'uscita del sistema inseguisca asintoticamente una traiettoria di riferimento o rigetti disturbi generati da un sistema esogeno.

• Sfida Teorica: Risolvere questo problema richiede di trovare due applicazioni: una varietà di stato stazionario $\pi(w)$ e un ingresso di preazione $c(w)$. Queste applicazioni devono soddisfare le Equazioni del Regolatore (RE), un sistema di Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali (PDE) accoppiato a vincoli algebrici (equazioni di Isidori-Byrnes).
• Limitazioni dei Metodi Esistenti:
  • Analitici: Le soluzioni esatte sono raramente disponibili per sistemi non lineari.
  • Approssimazione (Galerkin/Taylor): Questi metodi scalano male con la non linearità, sono validi solo in piccoli intorni dell'origine o richiedono complesse espansioni di ordine elevato.
  • Approcci Precedenti basati su Reti Neurali: Le soluzioni precedenti basate su NN si basavano sul fitting di dati con modelli superficiali e mancavano della capacità di generalizzare attraverso diversi parametri di sistema o condizioni iniziali senza riaddestramento.

2. Metodologia

Gli autori propongono un framework di Rete Neurale Informata dalla Fisica (PINN) per risolvere direttamente le Equazioni del Regolatore, evitando la necessità di dataset etichettati o traiettorie precalcolate.

Concetto Fondamentale

Invece di apprendere una traiettoria di evoluzione temporale, la rete apprende un operatore di stato stazionario che mappa direttamente gli stati del sistema esogeno $w$ negli stati richiesti del processo $\pi(w)$ e negli ingressi di controllo $c(w)$.

Architettura e Addestramento

• Struttura della Rete: Una rete neurale completamente connessa ($n_\xi$) con quattro strati nascosti e circa $8 \times 10^4$ parametri. Assume come ingresso lo stato del sistema esogeno $w$ e produce in uscita le approssimazioni $\hat{\pi}(w)$ e $\hat{c}(w)$.
• Funzione di Perdita: L'addestramento è non supervisionato. La funzione di perdita $J$ minimizza i residui delle Equazioni del Regolatore e impone le condizioni al contorno:
  $$J = J_{PDE} + \lambda \cdot J_{BC}$$
  • $J_{PDE}$: L'errore quadratico medio dei residui delle PDE ($L_s\hat{\pi} - f(\hat{\pi}, \hat{c}, w)$) e dei vincoli algebrici ($h(\hat{\pi}, w)$).
  • $J_{BC}$: Un termine di penalità per le condizioni al contorno (ad esempio, limiti degli attuatori).
  • Differenziazione Automatica: Utilizzata per calcolare le derivate di Lie ($L_s\pi$) rispetto all'ingresso della rete $w$, permettendo alla rete di "comprendere" la fisica della dinamica del sistema esogeno.
• Strategia di Generalizzazione: La rete viene addestrata campionando una famiglia di sistemi dinamici (variando le condizioni iniziali del sistema esogeno e parametri come la frequenza $\Omega$). Questo costringe la rete ad apprendere un operatore di soluzione generale piuttosto che un'istanza specifica.

3. Caso di Studio: Atterraggio Verticale di un Elicottero

Per validare l'approccio, gli autori hanno applicato il metodo a un benchmark non lineare: sincronizzare la dinamica verticale di un elicottero con una piattaforma che oscilla armonicamente.

• Dinamica del Sistema: Modellata come un corpo rigido con dinamica non lineare multi-ingresso e sottopilotata (spinta del rotore principale, spinta del rotore di coda e inclinazioni del rotore).
• Sistema Esogeno: Un oscillatore armonico che genera un riferimento sinusoidale verticale con frequenza e ampiezza sconosciute.
• Equazioni del Regolatore: Il problema è stato ridotto alla risoluzione degli angoli di rollio/pitch di stato stazionario ($\pi_\phi, \pi_\theta$) e di un ingresso di controllo specifico ($c_b$) che soddisfano le PDE accoppiate derivate dalle equazioni di Newton-Euler.
• Vincoli: La soluzione deve rispettare i limiti degli attuatori (ad esempio, $|u_b| \leq 0.3491$).

4. Risultati Chiave

Il framework è stato testato su una GPU consumer con un orizzonte di simulazione di 30 secondi.

• Ricostruzione ad Alta Fedeltà: La PINN ha ricostruito con successo la varietà a errore zero con alta accuratezza. Le applicazioni apprese ($\pi(w), c(w)$) hanno correttamente catturato il comportamento oscillatorio indotto dal sistema esogeno.
• Generalizzazione:
  • Il controllore ha mantenuto un errore di inseguimento basso su un'ampia gamma di frequenze del sistema esogeno e condizioni iniziali, incluse configurazioni non viste durante l'addestramento (fuori distribuzione).
  • In scenari "in distribuzione" e "fuori distribuzione", l'errore residuo di inseguimento era approssimativamente due ordini di grandezza inferiore rispetto al segnale di riferimento.
• Recupero della Condizione di Trim: Quando lo stato del sistema esogeno era zero (nessun disturbo), la rete ha correttamente recuperato la nota condizione di "trim" (ingressi di stazionarietà in volo) per l'elicottero, validando la coerenza fisica della soluzione.
• Metriche di Prestazione:
  • Addestramento: Completato in pochi minuti.
  • Inferenza: Passaggio in avanti leggero adatto per il deployment in tempo reale su hardware embedded.
  • Errore: L'errore di inseguimento verticale assoluto mediano era di circa $0.031$ m, con la maggior parte degli errori trascurabili. La divergenza si è verificata solo in regioni estreme e altamente non lineari (alta frequenza/ampiezza), attribuita alla progettazione del stabilizzatore in retroazione piuttosto che all'incapacità della PINN di risolvere le RE.

5. Significato e Contributi

• Risoluzione Efficiente in Dati: Dimostra che complesse PDE non lineari nella teoria del controllo possono essere risolte senza dataset massicci, basandosi esclusivamente sulla struttura matematica del sistema (informate dalla fisica).
• Apprendimento di Operatori: L'approccio sposta il focus dalla risoluzione di una singola istanza all'apprendimento di un operatore di soluzione che generalizza attraverso una famiglia di sistemi, rendendolo robusto alle variazioni parametriche.
• Fattibilità in Tempo Reale: Il metodo colma il divario tra il controllo non lineare teorico (spesso computazionalmente proibitivo) e l'implementazione pratica, offrendo un percorso computazionalmente efficiente verso il controllo in tempo reale su hardware embedded.
• Ampia Applicabilità: Sebbene testato su un elicottero, la metodologia è applicabile a qualsiasi sistema non lineare in cui il problema di regolazione dell'uscita ammetta una soluzione, a condizione che le Equazioni del Regolatore possano essere formulate.

6. Limitazioni e Lavori Futuri

• Assunzione di Informazione Completa: Il metodo corrente assume che lo stato del sistema esogeno $w$ sia disponibile per la retroazione. I lavori futuri mirano a estendere questo a configurazioni a informazione parziale (stima di $w$).
• Stabilizzazione in Retroazione: Il lavoro si concentra sulla risoluzione delle RE (preazione). La stabilità del sistema in anello chiuso dipende da un guadagno di retroazione separato, che è stato sintonizzato empiricamente. I lavori futuri potrebbero integrare progetti avanzati di stabilizzazione in retroazione per ampliare la regione operativa fattibile.
• Incertezza del Processo: Estendere il framework per gestire famiglie di processi con incertezza parametrica (randomizzando i parametri del processo durante l'addestramento) è una direzione proposta.