Physics-Informed Neural Networks for Nonlinear Output Regulation

1. Formulação do Problema

O artigo aborda o problema de regulação de saída não linear para sistemas onde tanto o estado da planta ($x$) quanto o estado do exossistema ($w$) são conhecidos (cenário de informação completa). O objetivo é projetar uma lei de controle por realimentação tal que a saída do sistema rastreie assintoticamente uma trajetória de referência ou rejeite perturbações geradas por um exossistema.

• Desafio Teórico: Resolver este problema exige encontrar duas aplicações: uma variedade de estado de regime permanente $\pi(w)$ e uma entrada de alimentação direta $c(w)$. Essas aplicações devem satisfazer as Equações do Regulador (ERs), um sistema de Equações Diferenciais Parciais (EDPs) acoplado a restrições algébricas (equações de Isidori-Byrnes).
• Limitações dos Métodos Existentes:
  • Analíticos: Soluções exatas são raramente disponíveis para sistemas não lineares.
  • Aproximação (Galerkin/Taylor): Esses métodos escalam mal com a não linearidade, são válidos apenas em pequenas vizinhanças da origem ou exigem expansões de alta ordem complexas.
  • Abordagens Anteriores com Redes Neurais: Soluções baseadas em Redes Neurais (RN) anteriores dependiam de ajuste de dados com modelos rasos e careciam da capacidade de generalizar entre diferentes parâmetros do sistema ou condições iniciais sem retreinamento.

2. Metodologia

Os autores propõem uma estrutura de Rede Neural Informada pela Física (PINN) para resolver as Equações do Regulador diretamente, contornando a necessidade de conjuntos de dados rotulados ou trajetórias pré-calculadas.

Conceito Central

Em vez de aprender uma trajetória de evolução temporal, a rede aprende um operador de estado estacionário que mapeia os estados do exossistema $w$ diretamente para os estados da planta requeridos $\pi(w)$ e as entradas de controle $c(w)$.

Arquitetura e Treinamento

• Estrutura da Rede: Uma rede neural totalmente conectada ($n_\xi$) com quatro camadas ocultas e $\approx 8 \times 10^4$ parâmetros. Ela recebe o estado do exossistema $w$ como entrada e produz aproximações $\hat{\pi}(w)$ e $\hat{c}(w)$.
• Função de Perda: O treinamento é não supervisionado. A função de perda $J$ minimiza os resíduos das Equações do Regulador e impõe condições de contorno:
  $$J = J_{PDE} + \lambda \cdot J_{BC}$$
  • $J_{PDE}$: O erro quadrático médio dos resíduos da EDP ($L_s\hat{\pi} - f(\hat{\pi}, \hat{c}, w)$) e das restrições algébricas ($h(\hat{\pi}, w)$).
  • $J_{BC}$: Um termo de penalidade para condições de contorno (por exemplo, limites dos atuadores).
  • Diferenciação Automática: Utilizada para calcular derivadas de Lie ($L_s\pi$) em relação à entrada da rede $w$, permitindo que a rede "compreenda" a física da dinâmica do exossistema.
• Estratégia de Generalização: A rede é treinada amostrando uma família de sistemas dinâmicos (variando condições iniciais do exossistema e parâmetros como frequência $\Omega$). Isso força a rede a aprender um operador de solução geral em vez de uma instância específica.

3. Estudo de Caso: Pouso Vertical de Helicóptero

Para validar a abordagem, os autores aplicaram o método a um benchmark não linear: sincronizar a dinâmica vertical de um helicóptero com uma plataforma oscilando harmonicamente.

• Dinâmica do Sistema: Modelada como um corpo rígido com dinâmica não linear de múltiplas entradas e subatuada (empuxo do rotor principal, empuxo do rotor de cauda e inclinações do rotor).
• Exossistema: Um oscilador harmônico gerando uma referência senoidal vertical com frequência e amplitude desconhecidas.
• Equações do Regulador: O problema foi reduzido à resolução para os ângulos de rolagem/pitch de regime permanente ($\pi_\phi, \pi_\theta$) e uma entrada de controle específica ($c_b$) que satisfazem as EDPs acopladas derivadas das equações de Newton-Euler.
• Restrições: A solução deve respeitar os limites dos atuadores (por exemplo, $|u_b| \leq 0.3491$).

4. Resultados Principais

A estrutura foi testada em uma GPU de consumo com um horizonte de simulação de 30 segundos.

• Reconstrução de Alta Fidelidade: A PINN reconstruiu com sucesso a variedade de erro zero com alta precisão. As aplicações aprendidas ($\pi(w), c(w)$) capturaram corretamente o comportamento oscilatório induzido pelo exossistema.
• Generalização:
  • O controlador manteve um erro de rastreamento baixo em uma ampla gama de frequências do exossistema e condições iniciais, incluindo configurações não vistas durante o treinamento (fora da distribuição).
  • Em cenários "dentro da distribuição" e "fora da distribuição", o erro residual de rastreamento foi aproximadamente duas ordens de magnitude menor que o sinal de referência.
• Recuperação da Condição de Trim: Quando o estado do exossistema foi zero (sem perturbação), a rede recuperou corretamente a conhecida condição de "trim" (entradas de voo estacionário) para o helicóptero, validando a consistência física da solução.
• Métricas de Desempenho:
  • Treinamento: Concluído em poucos minutos.
  • Inferência: Passagem direta leve adequada para implantação em tempo real em hardware embarcado.
  • Erro: O erro absoluto mediano de rastreamento vertical foi de $\approx 0.031$ m, com a maioria dos erros sendo negligenciável. A divergência ocorreu apenas em regiões extremas e altamente não lineares (alta frequência/amplitude), atribuída ao projeto do estabilizador de realimentação e não à incapacidade da PINN de resolver as ERs.

5. Significado e Contribuições

• Resolução Eficiente em Dados: Demonstra que EDPs não lineares complexas na teoria de controle podem ser resolvidas sem conjuntos de dados massivos, confiando exclusivamente na estrutura matemática do sistema (informado pela física).
• Aprendizado de Operadores: A abordagem muda de resolver uma única instância para aprender um operador de solução que generaliza através de uma família de sistemas, tornando-o robusto a variações de parâmetros.
• Viabilidade em Tempo Real: O método preenche a lacuna entre o controle não linear teórico (que é frequentemente computacionalmente proibitivo) e a implementação prática, oferecendo um caminho computacionalmente eficiente para controle em tempo real em hardware embarcado.
• Aplicabilidade Ampla: Embora testado em um helicóptero, a metodologia é aplicável a qualquer sistema não linear onde o problema de regulação de saída admita uma solução, desde que as Equações do Regulador possam ser formuladas.

6. Limitações e Trabalhos Futuros

• Hipótese de Informação Completa: O método atual assume que o estado do exossistema $w$ está disponível para realimentação. Trabalhos futuros visam estender isso para cenários de informação parcial (estimando $w$).
• Estabilização por Realimentação: O artigo foca na resolução das ERs (alimentação direta). A estabilidade do sistema em malha fechada depende de um ganho de realimentação separado, que foi ajustado empiricamente. Trabalhos futuros poderiam integrar projetos avançados de realimentação estabilizadora para ampliar a região operacional viável.
• Incerteza da Planta: Estender a estrutura para lidar com famílias de plantas com incerteza paramétrica (randomizando parâmetros da planta durante o treinamento) é uma direção proposta.