Certifying Set Attractivity for Discrete-Time Uncertain Nonlinear Switched Systems

Sintesi Tecnica: Certificazione dell'Attrattività di Insiemi per Sistemi Commutati Non Lineari Incerti a Tempo Discreto

Enunciato del Problema
Il lavoro affronta la sfida di certificare l'attrattività locale robusta di insiemi per sistemi commutati non lineari incerti a tempo discreto, dove la legge di commutazione agisce come variabile decisionale. Sebbene esista un'ampia letteratura sull'analisi della stabilità di sistemi commutati lineari e privi di incertezze (sia a tempo continuo che a tempo discreto), e che alcuni lavori coprano sistemi lineari incerti, il problema rimane una questione aperta significativa per i sistemi commutati non lineari incerti. I metodi esistenti basati su Lyapunov sono spesso non banali da applicare a sistemi non lineari, e gli approcci basati sulla teoria degli insiemi, fondati su insiemi invarianti, non hanno ancora fornito risultati generali per l'attrattività in presenza di incertezze per questa specifica classe di sistemi.

Metodologia
Gli autori propongono un quadro concettuale incentrato su una nuova classe di funzioni denominate funzioni di Garanzia di Attrattività (AG). La metodologia procede attraverso i seguenti passaggi logici:

1. Definizione delle funzioni AG: Una funzione AG è un rilassamento del concetto di funzione di Lyapunov per il controllo. È una funzione non negativa $L: X \to \mathbb{R}_{\geq 0}$ che si annulla su un insieme target $\Omega$ e soddisfa una specifica condizione di decremento. Nello specifico, per gli stati all'interno di un certo insieme di livello, deve esistere una modalità di commutazione tale che il supremo del valore della funzione su tutte le possibili realizzazioni delle incertezze diminuisca di un margine dipendente dalla distanza dall'insieme $\Omega$.
2. Collegamento Teorico all'Attrattività: Il lavoro dimostra (Proposizione 2) che l'esistenza di una funzione AG associata a un insieme $\Omega$ garantisce l'attrattività locale robusta di tale insieme.
3. Approccio Costruttivo tramite Insiemi Contraenti: Per affrontare la difficoltà di trovare direttamente funzioni AG per sistemi non lineari, gli autori propongono un metodo costruttivo basato sugli Insiemi Contraenti di Controllo Robusto (RCCS). Un RCCS è un insieme in cui, per ogni stato, esiste una modalità di commutazione che guida il sistema all'interno dell'insieme (tenendo conto di tutte le incertezze).
4. Dimostrazione di Esistenza: Gli autori dimostrano (Proposizione 5) che se esiste un RCCS compatto, è possibile costruire esplicitamente una funzione AG a tratti costanti basata sulla "distanza" di uno stato dall'insieme target, misurata dal numero di passi necessari per raggiungere l'insieme tramite insiemi controllabili.
5. Implementazione Algoritmica:
   • Per sistemi lineari con incertezza additiva, gli autori adattano un algoritmo esistente (Fiacchini e Jungers, 2014) per calcolare ricorsivamente insiemi controllabili robusti utilizzando differenze di Minkowski. Ciò consente il calcolo offline di una legge di commutazione stabilizzante.
   • Per sistemi non lineari, viene proposta una procedura numerica per approssimare gli insiemi controllabili e verificare la condizione di contraenza ($\Omega \subset \text{int}_X(C(\Omega))$) utilizzando un approccio basato su griglia.

Contributi Chiave

• Introduzione delle funzioni AG: Il lavoro definisce le funzioni AG come strumento per certificare l'attrattività di insiemi con requisiti più deboli rispetto alle tradizionali funzioni di Lyapunov, adattandosi specificamente alle discontinuità derivanti dalla commutazione.
• Garanzia Teorica: Stabilisce una catena logica rigorosa: l'esistenza di un Insieme Contraente di Controllo Robusto (RCCS) $\implies$ esistenza di una funzione AG $\implies$ attrattività locale robusta dell'insieme.
• Metodo Costruttivo: Il lavoro fornisce un metodo concreto per generare funzioni AG a partire dagli RCCS, definendo la funzione in base all'indice di passo degli insiemi controllabili robusti ($C_k(\Omega)$).
• Sintesi della Legge di Commutazione: Viene derivata una legge di commutazione stabilizzante esplicita (Equazione 16) che seleziona la modalità minimizzante l'indice di passo verso l'insieme target, garantendo che la traiettoria del sistema rimanga all'interno del dominio di attrazione e converga all'insieme.
• Validazione Lineare e Non Lineare: Il quadro concettuale è validato su sistemi commutati lineari con incertezza additiva e applicato a un caso di studio non lineare.

Risultati

• Caso Lineare: L'algoritmo proposto identifica con successo RCCS e leggi di commutazione stabilizzanti per sistemi lineari con incertezze limitate. In un esempio, il metodo ha identificato una legge stabilizzante dove l'analisi priva di incertezze suggeriva la stabilità, ma la presenza di incertezze ha impedito l'identificazione di un insieme contraente, evidenziando la necessità dell'approccio robusto.
• Caso di Studio Non Lineare (Resistenza Antimicrobica): Il quadro è stato applicato a un modello a tempo discreto della dinamica delle popolazioni batteriche (ceppi suscettibili e resistenti) sotto risposta immunitaria e trattamento antibiotico.
  • Gli autori hanno identificato RCCS per specifici carichi batterici iniziali (ad esempio, carico totale $b_0 \leq 10.000$).
  • Le simulazioni numeriche hanno dimostrato che per questi carichi, il sistema possiede un insieme attrattivo, il che significa che la popolazione batterica può essere guidata verso uno stato a basso carico nonostante le incertezze nella discretizzazione e nei parametri del modello.
  • Per carichi iniziali più elevati ($b_0 = 120.000$), la condizione di contraenza non è stata soddisfatta, indicando i limiti del protocollo terapeutico per alti carichi batterici.

Significato e Affermazioni
Il lavoro afferma di fornire il primo risultato generale per la certificazione dell'attrattività di insiemi in sistemi commutati non lineari incerti. La sua rilevanza risiede in:

• Colmare un Divario: Estende i metodi di controllo basati sulla teoria degli insiemi dai sistemi lineari/privi di incertezze al dominio più complesso dei sistemi non lineari incerti.
• Rilevanza Pratica: L'applicazione alla resistenza antimicrobica (AMR) dimostra l'utilità dell'approccio nei sistemi biologici, specificamente nella valutazione dei limiti fondamentali dei protocolli di terapia antibiotica basati sul carico batterico iniziale.
• Robustezza: La metodologia tiene esplicitamente conto delle incertezze, fornendo un certificato geometrico di stabilità asintotica e soddisfacimento dei vincoli che è robusto rispetto alle variazioni del modello e agli errori di discretizzazione.

Gli autori notano che l'approccio è attualmente limitato all'attrattività locale e che la costruzione della legge di commutazione può essere computazionalmente onerosa per sistemi non lineari generali a causa della necessità di calcolare gli insiemi controllabili offline. Suggeriscono che i lavori futuri dovrebbero concentrarsi su condizioni meno conservative per l'esistenza delle funzioni AG e su strategie di commutazione orientate alle prestazioni.