Certifying Set Attractivity for Discrete-Time Uncertain Nonlinear Switched Systems

Résumé Technique : Certification de l'Attractivité d'Ensembles pour des Systèmes Commutés Non Linéaires Incertains en Temps Discret

Énoncé du Problème
L'article aborde le défi de certifier l'attractivité locale robuste d'ensembles pour des systèmes commutés non linéaires incertains en temps discret, où la loi de commutation agit comme une variable de décision. Bien qu'une littérature étendue existe sur l'analyse de stabilité des systèmes commutés linéaires et exempts d'incertitudes (en temps continu et discret), et que certains travaux couvrent les systèmes linéaires incertains, le problème demeure une question ouverte majeure pour les systèmes commutés non linéaires incertains. Les méthodes existantes basées sur Lyapunov sont souvent non triviales à appliquer aux systèmes non linéaires, et les approches ensemblistes basées sur les ensembles invariants n'ont pas encore fourni de résultats généraux pour l'attractivité en présence d'incertitudes pour cette classe spécifique de systèmes.

Méthodologie
Les auteurs proposent un cadre centré sur une nouvelle classe de fonctions appelées fonctions de Garantie d'Attractivité (AG). La méthodologie procède par les étapes logiques suivantes :

1. Définition des fonctions AG : Une fonction AG est un relâchement du concept de fonction de Lyapunov de commande. C'est une fonction non négative $L: X \to \mathbb{R}_{\geq 0}$ qui s'annule sur un ensemble cible $\Omega$ et satisfait une condition de décroissance spécifique. Plus précisément, pour les états situés dans un certain ensemble de niveau, il doit exister un mode de commutation tel que le supremum de la valeur de la fonction sur toutes les réalisations possibles d'incertitudes décroisse d'une marge dépendant de la distance à l'ensemble $\Omega$.
2. Lien Théorique avec l'Attractivité : L'article démontre (Proposition 2) que l'existence d'une fonction AG associée à un ensemble $\Omega$ garantit l'attractivité locale robuste de cet ensemble.
3. Approche Constructive via des Ensembles Contractifs : Pour surmonter la difficulté de trouver directement des fonctions AG pour les systèmes non linéaires, les auteurs proposent une méthode constructive basée sur les Ensembles Contractifs de Commande Robustes (RCCS). Un RCCS est un ensemble où, pour chaque état, il existe un mode de commutation qui conduit le système vers l'intérieur de l'ensemble (en tenant compte de toutes les incertitudes).
4. Preuve d'Existence : Les auteurs démontrent (Proposition 5) que si un RCCS compact existe, on peut construire explicitement une fonction AG par morceaux constante basée sur la « distance » d'un état par rapport à l'ensemble cible, mesurée par le nombre d'étapes nécessaires pour atteindre l'ensemble via des ensembles commandables.
5. Implémentation Algorithmique :
   • Pour les systèmes linéaires avec incertitude additive, les auteurs adaptent un algorithme existant (Fiacchini et Jungers, 2014) pour calculer récursivement des ensembles commandables robustes en utilisant des différences de Minkowski. Cela permet le calcul hors ligne d'une loi de commutation stabilisante.
   • Pour les systèmes non linéaires, une procédure numérique est proposée pour approximer les ensembles commandables et vérifier la condition de contractivité ($\Omega \subset \text{int}_X(C(\Omega))$) en utilisant une approche basée sur une grille.

Contributions Clés

• Introduction des fonctions AG : L'article définit les fonctions AG comme un outil pour certifier l'attractivité d'ensembles avec des exigences plus faibles que les fonctions de Lyapunov traditionnelles, accommodant spécifiquement les discontinuités résultant de la commutation.
• Garantie Théorique : Il établit une chaîne logique rigoureuse : l'existence d'un Ensemble Contractif de Commande Robuste (RCCS) $\implies$ existence d'une fonction AG $\implies$ attractivité locale robuste de l'ensemble.
• Méthode Constructive : L'article fournit une méthode concrète pour générer des fonctions AG à partir de RCCS, définissant la fonction basée sur l'indice d'étape des ensembles commandables robustes ($C_k(\Omega)$).
• Synthèse de la Loi de Commutation : Une loi de commutation stabilisante explicite est dérivée (Équation 16) qui sélectionne le mode minimisant l'indice d'étape vers l'ensemble cible, assurant que la trajectoire du système reste dans le domaine d'attraction et converge vers l'ensemble.
• Validation Linéaire et Non Linéaire : Le cadre est validé sur des systèmes commutés linéaires avec incertitude additive et appliqué à une étude de cas non linéaire.

Résultats

• Cas Linéaire : L'algorithme proposé identifie avec succès des RCCS et des lois de commutation stabilisantes pour des systèmes linéaires avec des incertitudes bornées. Dans un exemple, la méthode a identifié une loi stabilisante là où une analyse sans incertitude suggérait la stabilité, mais la présence d'incertitudes a empêché l'identification d'un ensemble contractif, soulignant la nécessité de l'approche robuste.
• Étude de Cas Non Linéaire (Résistance aux Antimicrobiens) : Le cadre a été appliqué à un modèle en temps discret de la dynamique des populations bactériennes (souches sensibles et résistantes) sous réponse immunitaire et traitement antibiotique.
  • Les auteurs ont identifié des RCCS pour des charges bactériennes initiales spécifiques (par exemple, charge totale $b_0 \leq 10\,000$).
  • Des simulations numériques ont démontré que pour ces charges, le système possède un ensemble attractif, ce qui signifie que la population bactérienne peut être conduite vers un état de faible charge malgré les incertitudes de discrétisation et de paramètres du modèle.
  • Pour des charges initiales plus élevées ($b_0 = 120\,000$), la condition de contractivité a échoué, indiquant les limites du protocole thérapeutique pour des charges bactériennes élevées.

Signification et Revendications
L'article revendique fournir le premier résultat général pour certifier l'attractivité d'ensembles dans les systèmes commutés non linéaires incertains. Sa signification réside dans :

• Combler une Lacune : Il étend les méthodes de contrôle ensemblistes des systèmes linéaires/exempts d'incertitudes au domaine plus complexe des systèmes non linéaires incertains.
• Pertinence Pratique : L'application à la résistance aux antimicrobiens (RAM) démontre l'utilité de l'approche dans les systèmes biologiques, spécifiquement pour évaluer les limitations fondamentales des protocoles de thérapie antibiotique basés sur la charge bactérienne initiale.
• Robustesse : La méthodologie prend explicitement en compte les incertitudes, fournissant un certificat géométrique de stabilité asymptotique et de satisfaction des contraintes qui est robuste aux variations de modèle et aux erreurs de discrétisation.

Les auteurs notent que l'approche est actuellement limitée à l'attractivité locale et que la construction de la loi de commutation peut être intensivement calculatoire pour les systèmes non linéaires généraux en raison de la nécessité de calculer les ensembles commandables hors ligne. Ils suggèrent que les travaux futurs devraient se concentrer sur des conditions moins conservatrices pour l'existence de fonctions AG et sur des stratégies de commutation orientées performance.