A mixed local-nonlocal Hénon problem in $\mathbb{R}^N$

Sintesi Tecnica: Un problema di Hénon misto locale-nonlocale in $\mathbb{R}^N$

Enunciato del Problema
Questo articolo investiga l'esistenza, la regolarità e la non esistenza di soluzioni radiali positive per un'equazione di tipo Hénon guidata da un operatore misto locale-nonlocale in tutto lo spazio $\mathbb{R}^N$. Il problema è formulato come:
$$\begin{cases} \mathcal{L}_{s,p,\gamma} u + |x|^\beta |u|^{p-2}u = |x|^\alpha |u|^{q-2}u & \text{in } \mathbb{R}^N, \\ u > 0, \end{cases}$$
dove l'operatore $\mathcal{L}_{s,p,\gamma}$ è definito come una combinazione convessa del $p$-Laplaciano locale e del $p$-Laplaciano frazionario:
$$\mathcal{L}_{s,p,\gamma} u := \gamma(-\Delta_p)u + (1-\gamma)(-\Delta_p)^s u.$$
Qui, $\gamma \in [0, 1]$ è un parametro di miscelazione, $s \in (0, 1]$ è l'ordine frazionario (con $s=1$ che corrisponde al caso locale) e $p > 1$. L'equazione include un potenziale di confinamento $|x|^\beta |u|^{p-2}u$ sul lato sinistro per prevenire la perdita di massa all'infinito, un fenomeno che tipicamente preclude l'esistenza in domini illimitati per le pure equazioni di Hénon. Il lato destro presenta il peso di Hénon $|x|^\alpha$.

Metodologia
Gli autori utilizzano metodi variazionali all'interno di un quadro analitico funzionale adattato alle funzioni radiali.

1. Ambiente Funzionale: Il problema è studiato nello spazio di Sobolev frazionario pesato delle funzioni radiali, denotato con $W^{s,p}_{\beta, \text{rad}}(\mathbb{R}^N)$. Il funzionale dell'energia associato al problema è:
   $$J(u) = \frac{\gamma}{p}\|\nabla u\|_p^p + \frac{1-\gamma}{p}[u]_{s,p}^p + \frac{1}{p}\|u\|_{p,\beta}^p - \frac{1}{q}\|u\|_{q,\alpha}^q.$$
2. Compattezza: Una sfida tecnica centrale in domini illimitati è la mancanza di imbedimenti compatti. Gli autori stabiliscono un imbedimento compatto dello spazio radiale pesato $W^{s,p}_{\beta, \text{rad}}(\mathbb{R}^N)$ nello spazio di Lebesgue pesato $L^q_\alpha(\mathbb{R}^N)$. Ciò viene ottenuto combinando il lemma radiale di Strauss (che fornisce stime di decadimento per le funzioni radiali) con lemmi generalizzati di tipo Rother e stime specifiche sull'interazione tra i pesi $\alpha$ e $\beta$.
3. Esistenza: L'esistenza di un punto critico non banale per $J$ è provata utilizzando un teorema di tipo Mountain Pass (specificamente la versione di Brezis-Nirenberg). La prova verifica le condizioni geometriche (minimo locale in zero e un percorso dove il funzionale diventa negativo) e la condizione di Palais-Smale, quest'ultima basata sull'imbedimento compatto stabilito.
4. Regolarità: La limitatezza delle soluzioni deboli è stabilita tramite uno schema di iterazione di De Giorgi adattato all'operatore misto e al contesto pesato.
5. Non Esistenza: Un'identità di tipo Pohozaev viene utilizzata per derivare un risultato di non esistenza per esponenti supercritici. Ciò comporta un argomento di scalatura e un risultato di Pohozaev generalizzato per domini illimitati, richiedendo un controllo pesato del gradiente.

Contributi Chiave e Risultati

• Teorema di Esistenza (Teorema 1.1): Gli autori provano l'esistenza di una soluzione radiale debole sotto la condizione che l'esponente $q$ si trovi nell'intervallo subcritico $p < q < p^*_{\gamma,s,\alpha}$, dove $p^*_{\gamma,s,\alpha}$ è l'esponente di Sobolev critico adattato all'operatore misto e ai pesi. Fondamentalmente, l'esistenza è garantita se i parametri soddisfano la disuguaglianza:
  $$\alpha - \beta + (q-p)\left(1 - \frac{N}{p}\right) < 0.$$
  Questo risultato estende i precedenti risultati di esistenza per le equazioni di Hénon puramente locali ($\gamma=1$) e puramente frazionarie ($\gamma=0$) a domini illimitati nel caso misto.

• Regolarità (Teorema 1.2): Si dimostra che ogni soluzione radiale debole $u$ ottenuta nel teorema di esistenza è essenzialmente limitata ($u \in L^\infty(\mathbb{R}^N)$). Questo è un risultato non banale data la natura singolare dei pesi e l'operatore non locale.

• Soglia di Non Esistenza (Teorema 1.3): Il saggio stabilisce che $p^*_{\gamma,s,\alpha}$ funge da soglia netta per l'esistenza. Nello specifico, per $q > p^*_{\gamma,s,\alpha}$, non esistono soluzioni nello spazio $\tilde{X}(\mathbb{R}^N)$ (definito come soluzioni limitate con un controllo del gradiente pesato $|\nabla u(x)||x| \in L^r$). Ciò conferma che l'esponente critico agisce come una barriera per l'esistenza di soluzioni limitate con un decadimento appropriato.

Significato e Ambito
L'articolo sostiene di estendere la teoria delle equazioni di tipo Hénon dai domini limitati e dagli ambiti puramente locali o frazionari al contesto più complesso degli operatori misti locali-nonlocali su tutto lo spazio $\mathbb{R}^N$.

• Generalizzazione: I risultati unificano e generalizzano il lavoro precedente di Ni (su domini limitati) e gli studi successivi sulle equazioni di Hénon frazionarie in $\mathbb{R}^N$ (ad esempio, [2, 6, 14, 20]).
• Intervallo dei Parametri: Gli autori osservano che la condizione (1.6) da loro derivata migliora l'intervallo dei parametri ottenuto in [14] per il caso specifico di $p=2$ e $\beta=2$.
• Rigore Metodologico: Il lavoro fornisce un quadro funzionale rigoroso per gli operatori misti, dimostrando che la compattezza richiesta per i metodi variazionali può essere recuperata in domini illimitati attraverso l'interazione tra simmetria radiale e norme pesate.

Il saggio non propone nuovi modelli fisici o applicazioni sperimentali, ma si concentra strettamente sull'analisi matematica del problema ellittico, fornendo una base teorica per l'esistenza e le proprietà delle soluzioni di questa classe di operatori misti.