A mixed local-nonlocal Hénon problem in $\mathbb{R}^N$

Résumé Technique : Un problème de Hénon mixte local-nonlocal dans $\mathbb{R}^N$

Énoncé du Problème
Cet article étudie l'existence, la régularité et la non-existence de solutions radiales positives pour une équation de type Hénon pilotée par un opérateur mixte local-nonlocal dans l'espace entier $\mathbb{R}^N$. Le problème est formulé comme suit :
$$\begin{cases} \mathcal{L}_{s,p,\gamma} u + |x|^\beta |u|^{p-2}u = |x|^\alpha |u|^{q-2}u & \text{dans } \mathbb{R}^N, \\ u > 0, \end{cases}$$
où l'opérateur $\mathcal{L}_{s,p,\gamma}$ est défini comme une combinaison convexe du $p$-laplacien local et du $p$-laplacien fractionnaire :
$$\mathcal{L}_{s,p,\gamma} u := \gamma(-\Delta_p)u + (1-\gamma)(-\Delta_p)^s u.$$
Ici, $\gamma \in [0, 1]$ est un paramètre de mélange, $s \in (0, 1]$ est l'ordre fractionnaire (avec $s=1$ correspondant au cas local) et $p > 1$. L'équation inclut un potentiel de confinement $|x|^\beta |u|^{p-2}u$ sur le membre de gauche pour empêcher la perte de masse à l'infini, un phénomène qui empêche généralement l'existence dans les domaines non bornés pour les équations de Hénon pures. Le membre de droite présente le poids de Hénon $|x|^\alpha$.

Méthodologie
Les auteurs emploient des méthodes variationnelles au sein d'un cadre d'analyse fonctionnelle adapté aux fonctions radiales.

1. Cadre Fonctionnel : Le problème est étudié dans l'espace de Sobolev pondéré des fonctions radiales, noté $W^{s,p}_{\beta, \text{rad}}(\mathbb{R}^N)$. Le fonctionnel d'énergie associé au problème est :
   $$J(u) = \frac{\gamma}{p}\|\nabla u\|_p^p + \frac{1-\gamma}{p}[u]_{s,p}^p + \frac{1}{p}\|u\|_{p,\beta}^p - \frac{1}{q}\|u\|_{q,\alpha}^q.$$
2. Compacité : Un défi technique central dans les domaines non bornés est l'absence d'inclusions compactes. Les auteurs établissent une inclusion compacte de l'espace radial pondéré $W^{s,p}_{\beta, \text{rad}}(\mathbb{R}^N)$ dans l'espace de Lebesgue pondéré $L^q_\alpha(\mathbb{R}^N)$. Ceci est réalisé en combinant le lemme radial de Strauss (qui fournit des estimations de décroissance pour les fonctions radiales) avec des lemmes de type Rother généralisés et des estimations spécifiques sur l'interaction entre les poids $\alpha$ et $\beta$.
3. Existence : L'existence d'un point critique non trivial est prouvée en utilisant un théorème de type Passage Montant (plus précisément la version de Brézis-Nirenberg). La preuve vérifie les conditions géométriques (minimum local en zéro et un chemin où le fonctionnel devient négatif) ainsi que la condition de Palais-Smale, cette dernière reposant sur l'inclusion compacte établie.
4. Régularité : Le caractère borné des solutions faibles est établi via un schéma d'itération de De Giorgi adapté à l'opérateur mixte et au cadre pondéré.
5. Non-existence : Une identité de type Pohozaev est utilisée pour dériver un résultat de non-existence pour les exposants supercritiques. Cela implique un argument d'échelle et un résultat de Pohozaev généralisé pour les domaines non bornés, nécessissant un contrôle pondéré du gradient.

Contributions Clés et Résultats

• Théorème d'Existence (Théorème 1.1) : Les auteurs prouvent l'existence d'une solution faible radiale sous la condition que l'exposant $q$ se situe dans la plage sous-critique $p < q < p^*_{\gamma,s,\alpha}$, où $p^*_{\gamma,s,\alpha}$ est l'exposant de Sobolev critique adapté à l'opérateur mixte et aux poids. Crucialement, l'existence est garantie si les paramètres satisfont l'inégalité :
  $$\alpha - \beta + (q-p)\left(1 - \frac{N}{p}\right) < 0.$$
  Ce résultat étend les résultats d'existence précédents pour les équations de Hénon purement locales ($\gamma=1$) et purement fractionnaires ($\gamma=0$) aux cas mixtes sur des domaines non bornés.

• Régularité (Théorème 1.2) : Il est démontré que toute solution faible radiale $u$ obtenue dans le théorème d'existence est essentiellement bornée ($u \in L^\infty(\mathbb{R}^N)$). C'est un résultat non trivial compte tenu de la nature singulière des poids et de l'opérateur non local.

• Seuil de Non-existence (Théorème 1.3) : L'article établit que $p^*_{\gamma,s,\alpha}$ sert de seuil critique pour l'existence. Spécifiquement, pour $q > p^*_{\gamma,s,\alpha}$, aucune solution n'existe dans l'espace $\tilde{X}(\mathbb{R}^N)$ (défini comme les solutions bornées avec un contrôle du gradient pondéré $|\nabla u(x)||x| \in L^r$). Cela confirme que l'exposant critique agit comme une barrière pour l'existence de solutions bornées avec une décroissance appropriée.

Signification et Portée
L'article prétend étendre la théorie des équations de type Hénon des domaines bornés et des contextes purement locaux ou fractionnaires vers le cadre plus complexe des opérateurs mixtes local-nonlocal sur l'espace entier $\mathbb{R}^N$.

• Généralisation : Les résultats unifient et généralisent les travaux antérieurs de Ni (sur des domaines bornés), ainsi que les études ultérieures sur les équations de Hénon fractionnaires dans $\mathbb{R}^N$ (par exemple, [2, 6, 14, 20]).
• Plage de Paramètres : Les auteurs notent que leur condition dérivée (1.6) améliore la plage de paramètres obtenue dans [14] pour le cas spécifique de $p=2$ et $\beta=2$.
• Rigueur Méthodologique : Le travail fournit un cadre fonctionnel rigoureux pour les opérateurs mixtes, démontrant que la compacité requise pour les méthodes variationnelles peut être récupérée dans les domaines non bornés grâce à l'interaction de la symétrie radiale et des normes pondérées.

Le papier ne propose pas de nouveaux modèles physiques ou d'applications expérimentales mais se concentre strictement sur l'analyse mathématique du problème elliptique, fournissant une fondation théorique pour l'existence et les propriétés des solutions de cette classe d'opérateurs mixtes.