Quasiconvexity in the Riemannian setting

1. Il Problema e il Contesto

Il calcolo delle variazioni classico si occupa della ricerca di minimizzatori per funzionali integrali definiti su spazi di Sobolev $W^{1,p}(\Omega, \mathbb{R}^m)$, dove $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$. Un risultato fondamentale, stabilito da Tonelli e successivamente generalizzato da Serrin, De Giorgi, Olech, Ioffe e in modo completo da Acerbi e Fusco, afferma che la semicontinuità inferiore sequenziale di un funzionale integrale rispetto alla topologia debole (o debole*) è equivalente alla quasiconvessità dell'integrando.

Tuttavia, la maggior parte di questi risultati è formulata nel contesto euclideo. Il problema affrontato in questo articolo è estendere tale teoria al setting Riemanniano. Nello specifico, gli autori considerano una varietà Riemanniana liscia, completa e connessa $(M, g)$ e studiano funzionali della forma:
$$F(u, \Omega) = \int_{\Omega} f(du) \, d\mu$$
dove:

• $\Omega \subseteq M$ è un sottoinsieme aperto e limitato.
• $u: M \to \mathbb{R}^m$ è una funzione (mappa).
• $du$ è il differenziale di $u$, che è una sezione del fibrato vettoriale $L(TM, \mathbb{R}^m)$ (spazio delle applicazioni lineari tra lo spazio tangente $T_xM$ e $\mathbb{R}^m$).
• $f: L(TM, \mathbb{R}^m) \to \mathbb{R}$ è una funzione continua.
• $\mu$ è la misura canonica (di volume) della varietà.

La sfida principale risiede nel fatto che, a differenza dello spazio euclideo, gli spazi tangenti in punti diversi di una varietà non sono naturalmente identificabili. Pertanto, non è possibile sommare direttamente differenziali in punti diversi, rendendo la definizione classica di quasiconvessità (che richiede l'integrazione su perturbazioni $\xi + D\phi$) non immediatamente applicabile.

2. Metodologia e Definizioni Chiave

Definizione di Quasiconvessità Riemanniana (Definizione 2.1)

Gli autori introducono una nuova definizione di quasiconvessità che generalizza quella euclidea. Dato un punto $x_0 \in M$, un elemento $\alpha_{x_0} \in (T_{x_0}^*M)^m$ e una funzione di perturbazione $\phi \in C_c^\infty(Q_r^{x_0}, \mathbb{R}^m)$ (dove $Q_r^{x_0}$ è un "cubo" geodetico centrato in $x_0$), la funzione $f$ è detta quasiconvessa se:

$$f(\alpha_{x_0}) \leq \frac{1}{\mu(Q_r^{x_0})} \int_{Q_r^{x_0}} f\left( \alpha_{x_0} + d\phi[x] \circ d(\exp_{x_0})[\exp_{x_0}^{-1}(x)] \right) \, d\mu(x) + o(1)$$

dove $o(1)$ è un termine di errore che tende a zero quando il raggio $r \to 0$, dipendendo monotonicamente dalla norma $L^\infty$ di $d\phi$.

Analisi Tecnica della Definizione:

• Trasporto del Differenziale: Il termine critico è $d\phi[x] \circ d(\exp_{x_0})[\exp_{x_0}^{-1}(x)]$. Poiché $d\phi[x]$ vive in $T_x^*M$, per sommarlo a $\alpha_{x_0} \in T_{x_0}^*M$, è necessario "trasportarlo" indietro a $x_0$. Gli autori utilizzano il differenziale dell'applicazione esponenziale inversa per mappare il vettore tangente da $x$ a $x_0$.
• Termine di Correzione: A differenza del caso euclideo (dove l'applicazione esponenziale è l'identità e il trasporto è banale), qui appare un termine di correzione $o(1)$. Questo termine scompare nel limite $r \to 0$ perché il differenziale dell'applicazione esponenziale tende all'identità quando ci si avvicina a $x_0$.
• Coerenza con il Caso Euclideo: Se $M = \mathbb{R}^n$, l'applicazione esponenziale è l'identità, il trasporto è banale e la definizione si riduce esattamente alla quasiconvessità classica di Morrey.

Strumenti Analitici

• Trivializzazione del Fibrato: Per gestire le integrazioni e le stime, gli autori utilizzano una "trivializzazione" locale del fibrato $L(TM, \mathbb{R}^m)$ tramite una base ortonormale locale e la mappa esponenziale, permettendo di lavorare localmente come in $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^{n \times m}$.
• Metrica e Distanza: Viene definita una distanza $\delta$ sul fibrato che combina la distanza Riemanniana sulla base $M$ e la norma euclidea sulle fibre, permettendo di utilizzare moduli di continuità uniformi.

3. Risultati Principali

Il cuore del lavoro è la dimostrazione dell'equivalenza tra la quasiconvessità definita sopra e la semicontinuità inferiore del funzionale.

Teorema 3.1 (Semicontinuità $\implies$ Quasiconvessità):
Se $f$ è continua e quasiconvessa secondo la Definizione 2.1, allora il funzionale $F(u, \Omega)$ è semicontinuo inferiormente sequenzialmente rispetto alla topologia debole* in $W^{1,\infty}(\Omega, \mathbb{R}^m)$.

• Metodo di dimostrazione: Si utilizza una sequenza di funzioni di taglio $\psi$ e perturbazioni $\phi_j$ per approssimare il comportamento locale. Si sfrutta la convergenza debole* e la compattezza di Banach-Alaoglu-Bourbaki. La prova si basa sull'idea di "concentrare" l'integrale su un piccolo intorno geodetico $Q_r^{x_0}$ e mostrare che il valore dell'integrando nel punto limite è limitato inferiormente dalla media dell'integrando perturbato, gestendo i termini di errore legati alla curvatura e al trasporto parallelo tramite il termine $o(1)$.

Teorema 3.2 (Quasiconvessità $\implies$ Semicontinuità):
Se il funzionale $F$ è semicontinuo inferiormente sequenzialmente in $W^{1,\infty}$, allora $f$ è quasiconvessa secondo la Definizione 2.1.

• Metodo di dimostrazione: Si costruisce una sequenza di perturbazioni oscillanti ad alta frequenza ($\phi_h$) basate su una funzione periodica $\psi$ scalata. Utilizzando la semicontinuità del funzionale su questa sequenza che converge debolmente* a zero, si dimostra che la disuguaglianza di quasiconvessità deve necessariamente valere. Si utilizzano cambi di variabili tramite l'applicazione esponenziale e proprietà del Jacobiano per tornare alla definizione locale.

Teorema 3.3 (Risultato Principale):
Sia $(M, g)$ una varietà Riemanniana liscia, connessa e completa. Una funzione continua $f: L(TM, \mathbb{R}^m) \to \mathbb{R}$ è quasiconvessa (Def. 2.1) se e solo se il funzionale associato $F(u, \Omega)$ è semicontinuo inferiormente sequenzialmente nella topologia debole* di $W^{1,\infty}(\Omega, \mathbb{R}^m)$.

Questo teorema generalizza il risultato di Acerbi e Fusco (Teorema 1.2 nel caso euclideo) al contesto Riemanniano per il caso $p=+\infty$.

4. Contributi Chiave e Significato

1. Generalizzazione Geometrica: Il lavoro risolve il problema di definire correttamente la quasiconvessità su varietà Riemanniane, superando l'ostacolo dell'assenza di una struttura vettoriale globale. La definizione proposta è intrinseca e geometricamente naturale.
2. Gestione della Curvatura: Gli autori dimostrano rigorosamente come la curvatura della varietà influenzi la definizione solo attraverso un termine di errore asintotico ($o(1)$) che scompare in scala infinitesimale, confermando che la quasiconvessità è una proprietà "locale" che ignora la curvatura globale su scale piccole.
3. Fondamento per Applicazioni Future: Questo risultato è fondamentale per la teoria dell'elasticità non lineare su varietà, per problemi di ottimizzazione di forma su domini curvi e per lo studio di mappe armoniche o di energia minima tra varietà.
4. Ponte tra Analisi e Geometria: Il lavoro collega profondamente l'analisi variazionale (spazi di Sobolev, semicontinuità) con la geometria differenziale (fibrati vettoriali, applicazioni esponenziali, trasporto).

5. Direzioni Future e Limiti

Gli autori discutono alcune direzioni per ricerche future:

• Estendere i risultati allo spazio $W^{1,p}$ per $1 \leq p < +\infty$ (analogo al Teorema 1.3 di Acerbi-Fusco).
• Considerare mappe tra due varietà Riemanniane ($u: \Omega \subseteq M \to N$), combinando la loro definizione con i risultati di Focardi e Spadaro.
• Generalizzare a funzioni di Carathéodory (dipendenza misurabile da $x$ e continua da $\xi$).
• Introdurre e studiare le nozioni di convessità polare (polyconvexity) e convessità di rango uno (rank-one convexity) in questo contesto Riemanniano, verificando se le relazioni di implicazione note nel caso euclideo (convessità $\implies$ quasiconvessità $\implies$ convessità di rango uno) rimangono valide.

In conclusione, il paper fornisce un quadro teorico rigoroso e completo per l'analisi variazionale su varietà Riemanniane, stabilendo che la quasiconvessità, opportunamente adattata geometricamente, rimane la condizione necessaria e sufficiente per la semicontinuità inferiore dei funzionali integrali.