Quasiconvexity in the Riemannian setting

1. Problématique et Contexte

Le calcul des variations classique sur les espaces euclidiens établit un lien fondamental entre la quasiconvexité de l'intégrande d'un fonctionnel et la semi-continuité inférieure séquentielle de ce fonctionnel par rapport à la topologie faible (ou faible-*) des espaces de Sobolev. Ce résultat, initialement développé par Tonelli, Morrey, et perfectionné par Acerbi et Fusco, garantit l'existence de minimiseurs pour des fonctionnelles de la forme :
$$F(u, \Omega) = \int_{\Omega} f(x, u(x), Du(x)) \, dx$$
où $\Omega \subset \mathbb{R}^n$.

Le problème abordé :
Les auteurs cherchent à généraliser cette théorie au cadre des variétés riemanniennes. Plus précisément, ils s'intéressent à la semi-continuité inférieure de fonctionnels définis sur des applications $u : M \to \mathbb{R}^m$, où $(M, g)$ est une variété riemannienne lisse, complète et connexe.
La difficulté majeure réside dans le fait que, contrairement à l'espace euclidien, les espaces tangents $T_xM$ en différents points $x$ ne sont pas naturellement identifiés. Par conséquent, on ne peut pas simplement additionner des différentielles $Du(x)$ et $Du(y)$ pour définir la quasiconvexité de la même manière qu'en $\mathbb{R}^n$. Il faut donc définir une notion de quasiconvexité intrinsèque qui tienne compte de la géométrie de la variété.

2. Méthodologie et Définitions Clés

Définition de la Quasiconvexité Riemannienne

Les auteurs introduisent une nouvelle définition de quasiconvexité (Définition 2.1) pour une fonction continue $f : \mathcal{L}(TM, \mathbb{R}^m) \to \mathbb{R}$, où $\mathcal{L}(TM, \mathbb{R}^m)$ est le fibré vectoriel des applications linéaires entre les espaces tangents de $M$ et $\mathbb{R}^m$.

Une fonction $f$ est dite quasiconvexe si, pour tout point $x_0 \in M$, tout élément $\alpha_{x_0} \in (T_{x_0}^*M)^m$ et toute perturbation $\phi \in C_c^\infty(Q_{r}^{x_0}, \mathbb{R}^m)$ (où $Q_{r}^{x_0}$ est l'image d'un cube via l'application exponentielle), l'inégalité suivante est vérifiée :
$$f(\alpha_{x_0}) \leq \frac{1}{\mu(Q_{r}^{x_0})} \int_{Q_{r}^{x_0}} f\left( \alpha_{x_0} + d\phi[x] \circ d(\exp_{x_0})[\exp_{x_0}^{-1}(x)] \right) d\mu(x) + o(1)$$
où :

• $\exp_{x_0}$ est l'application exponentielle en $x_0$.
• Le terme $d\phi[x] \circ d(\exp_{x_0})[\exp_{x_0}^{-1}(x)]$ représente le « transport » de la différentielle de la perturbation depuis le point $x$ vers l'espace tangent $T_{x_0}M$ via la différentielle de l'application exponentielle.
• $o(1)$ est un terme d'erreur qui tend vers 0 lorsque le rayon $r \to 0$, dépendant uniquement de la norme $L^\infty$ du gradient de $\phi$.

Interprétation technique : Cette définition corrige le fait que les différentielles ne peuvent pas être additionnées directement. Elle « ramène » la perturbation à l'espace tangent de référence $T_{x_0}M$ en utilisant la géométrie locale (via l'application exponentielle). Dans le cas euclidien, l'application exponentielle est l'identité, et le terme de correction disparaît, retrouvant ainsi la définition classique de Morrey.

Cadre Fonctionnel

L'étude se concentre sur l'espace de Sobolev $W^{1,\infty}(\Omega, \mathbb{R}^m)$ muni de la topologie faible-. La convergence faible- d'une suite $u_j$ vers $u$ implique la convergence des intégrales contre des fonctions et des 1-formes fixes, ainsi que la borne uniforme des différentielles $du_j$.

3. Résultats Principaux

Le cœur de l'article réside dans la preuve de l'équivalence entre la quasiconvexité définie ci-dessus et la semi-continuité inférieure du fonctionnel associé.

Théorème 3.1 (Suffisance) :
Si $f$ est continue et quasiconvexe au sens de la Définition 2.1, alors le fonctionnel
$$F(u, \Omega) = \int_{\Omega} f(du) \, d\mu$$
est séquentiellement semi-continu inférieurement par rapport à la topologie faible-* de $W^{1,\infty}(\Omega, \mathbb{R}^m)$.

• Preuve : L'argument utilise une approximation locale par des cubes géodésiques, la compacité faible-* (théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki) et la convergence des mesures de Radon associées à $f(du_j)$. Une partie cruciale de la preuve consiste à contrôler les termes d'erreur introduits par la courbure de la variété (via le terme $o(1)$ et la continuité uniforme de $f$).

Théorème 3.2 (Nécessité) :
Si le fonctionnel $F$ est séquentiellement semi-continu inférieurement pour tout ouvert borné $\Omega \subset M$, alors $f$ est quasiconvexe au sens de la Définition 2.1.

• Preuve : On construit une suite de perturbations oscillantes $\phi_h$ (basées sur une fonction périodique étirée) qui convergent faiblement-* vers 0. En appliquant la semi-continuité inférieure à la suite $u + \phi_h$ et en utilisant un changement de variables via l'application exponentielle, on récupère l'inégalité de quasiconvexité.

Théorème 3.3 (Équivalence) :
En combinant les deux résultats précédents, les auteurs établissent que pour une fonction continue $f$, la quasiconvexité riemannienne est nécessaire et suffisante pour la semi-continuité inférieure séquentielle du fonctionnel intégral dans $W^{1,\infty}$.

4. Contributions et Signification

1. Généralisation Géométrique : Ce travail comble un vide théorique en étendant la caractérisation fondamentale de la semi-continuité (théorèmes d'Acerbi-Fusco) du cadre euclidien au cadre riemannien général.
2. Intrinsèque et Cohérent : La définition proposée est intrinsèque à la variété. Elle montre comment la géométrie (via l'application exponentielle et sa différentielle) intervient naturellement dans les conditions de convexité des fonctionnelles non-linéaires.
3. Consistance avec le Cas Euclidien : Les auteurs démontrent rigoureusement que leur définition se réduit exactement à la définition classique de Morrey lorsque la variété est $\mathbb{R}^n$ avec la métrique standard.
4. Fondation pour l'Élasticité Non-Linéaire : Ce résultat est crucial pour la théorie de l'élasticité non-linéaire sur des variétés (par exemple, la déformation de coques ou de surfaces courbes), où les contraintes de quasiconvexité sont essentielles pour garantir l'existence de solutions minimisantes.

5. Perspectives et Ouvertures

Les auteurs discutent de plusieurs directions de recherche futures :

• Extension aux espaces $W^{1,p}$ : Généraliser les résultats pour $1 \leq p < +\infty$ (analogue du Théorème 1.3 d'Acerbi-Fusco).
• Applications entre variétés : Combiner leurs résultats avec ceux de Focardi et Spadaro pour traiter des applications $u : \Omega \subset \mathbb{R}^n \to M$ ou même $u : M_1 \to M_2$ entre deux variétés riemanniennes.
• Fonctions de Carathéodory : Étendre la théorie aux intégrandes non nécessairement continues mais satisfaisant des conditions de Carathéodory.
• Autres notions de convexité : Introduire et comparer les notions de polyconvexité et de convexité de rang-un dans le contexte riemannien.

En résumé, ce papier fournit les fondations analytiques rigoureuses nécessaires pour étudier les problèmes variationnels sur des variétés riemanniennes, en établissant le pont entre la géométrie différentielle et le calcul des variations non-linéaire.