Nuclear quadrupole interaction and zero first-order Zeeman transitions of $^{167}$Er$^{3+}$ in CaWO$_4$

Titolo: Interazione quadrupolare nucleare e transizioni Zeeman di primo ordine nulle (ZEFOZ) di $^{167}\text{Er}^{3+}$ in $\text{CaWO}_4$

1. Il Problema

I cristalli drogati con ioni di terre rare sono piattaforme leader per le memorie quantistiche scalabili grazie ai loro lunghi tempi di coerenza e alla stabilità spettrale. In particolare, l'iterio (Er) è attraente perché possiede una transizione intra-4f nella banda C delle telecomunicazioni, permettendo l'interfacciamento diretto con le infrastrutture in fibra ottica esistenti.
Tuttavia, l'uso dell'Er presenta una sfida fondamentale: gli ioni $\text{Er}^{3+}$ possiedono un grande momento magnetico elettronico ($J_{eff}=15/2$) che li rende estremamente sensibili alle fluttuazioni dei campi magnetici esterni e al "bagno" di spin nucleari del reticolo cristallino. Questo porta a una rapida decoerenza e a una ridotta fedeltà dell'informazione quantistica immagazzinata.
Sebbene cristalli come il $\text{CaWO}_4$ (tungstato di calcio) offrano un ambiente magnetico relativamente silenzioso (con pochi isotopi nucleari attivi), la decoerenza rimane un limite. Una strategia efficace per mitigare questo problema è operare in condizioni di transizioni Zeeman di primo ordine nulle (ZEFOZ), dove la frequenza di transizione è insensibile alle fluttuazioni lineari del campo magnetico.
Il problema specifico affrontato in questo lavoro è che, nonostante il potenziale del sistema $^{167}\text{Er}^{3+}:\text{CaWO}_4$, le condizioni ZEFOZ non erano state esplorate sistematicamente. Le misurazioni precedenti si erano concentrate su campi magnetici elevati, trascurando l'interazione quadrupolare nucleare elettrica (NQI), che diventa cruciale a campi bassi e vicino allo zero, portando a modelli spin Hamiltoniani incompleti e imprecisi.

2. Metodologia

Gli autori hanno adottato un approccio combinato di spettroscopia microonde ad alta precisione e modellazione teorica avanzata:

• Campioni: Sono stati utilizzati cristalli singoli di $\text{CaWO}_4$ drogati con erbio naturale (concentrazione target di 100 ppm), cresciuti con il metodo Czochralski ibrido e tagliati lungo gli assi cristallografici.
• Spettroscopia Microonde: Le misurazioni sono state effettuate a temperature criogeniche ($\sim 50$ mK) utilizzando un refrigeratore a diluizione. I campioni sono stati accoppiati a una guida d'onda coplanare (CPW) e le proprietà di trasmissione ($S_{21}$) sono state misurate con un analizzatore di rete vettoriale (VNA) in presenza di campi magnetici fino a 200 mT (e simulazioni fino a 20 T).
• Modellazione Teorica: È stato utilizzato un Hamiltoniano di spin che include:
  1. Interazione Zeeman elettronica e nucleare.
  2. Accoppiamento iperfine ($A$).
  3. Interazione quadrupolare nucleare elettrica ($Q$), precedentemente trascurata in questo contesto.
     Il tensore $Q$ è stato incluso per modellare i gradienti del campo elettrico locale dovuti alla sostituzione di $\text{Ca}^{2+}$ con $\text{Er}^{3+}$.
• Identificazione ZEFOZ: I parametri dello spin Hamiltoniano ($g$, $A$, $Q$) sono stati estratti tramite un fitting globale non lineare dei dati sperimentali. Successivamente, è stata effettuata una ricerca numerica (metodo Newton-Raphson) su una griglia tridimensionale di campi magnetici per trovare punti in cui il gradiente della frequenza di transizione rispetto al campo magnetico ($S_1 = \nabla_B f$) è zero.

3. Contributi Chiave

Il lavoro apporta diversi contributi fondamentali alla fisica dello stato solido e alle tecnologie quantistiche:

• Rilevamento dell'Interazione Quadrupolare: Dimostrazione inequivocabile che l'interazione quadrupolare nucleare elettrica ($Q$) è essenziale per riprodurre i dati sperimentali, specialmente le scissioni a campo zero. Senza questo termine, il modello fallisce nel prevedere le strutture iperfini osservate.
• Parametri Spin Hamiltoniani Raffinati: Determinazione precisa dei tensori $g$, $A$ e $Q$ per $^{167}\text{Er}^{3+}$ in $\text{CaWO}_4$, che correggono e completano la letteratura precedente basata su campi elevati.
• Mappatura Completa dei Punti ZEFOZ: Identificazione sistematica delle transizioni ZEFOZ non solo a campo zero, ma anche in campi magnetici finiti, rivelando una distribuzione geometrica specifica (lungo l'asse $c$ e anelli nel piano $a-b$).

4. Risultati

• Struttura Iperfina e Scissione a Campo Zero: Le misurazioni hanno rivelato la struttura iperfina dello stato fondamentale elettronico ($Z_1$) di $^{167}\text{Er}^{3+}$ (spin nucleare $I=7/2$), che genera 16 livelli. È stata osservata una scissione a campo zero di circa 30-50 MHz per certi gruppi di transizioni, attribuibile esclusivamente all'interazione quadrupolare ($Q \approx 1.68$ MHz).
• Transizioni ZEFOZ a Campo Zero: È stata identificata una singola transizione ZEFOZ pura ($|0\rangle \to |15\rangle$) a 3.4844 GHz. Tuttavia, la sua curvatura residua ($S_2$) è elevata, limitando i tempi di coerenza stimati a circa 12.7 $\mu$s.
• Transizioni ZEFOZ a Campo Finito: La ricerca ha individuato 163 punti ZEFOZ unici. Questi si distribuiscono in due configurazioni geometriche distinte:
  1. Lungo l'asse cristallografico $c$ (sopra 4 T).
  2. Nel piano $a-b$ (sotto 2 T), formando anelli continui dovuti alla simmetria assiale del cristallo.
• Tempi di Coerenza: Le transizioni perpendicolari all'asse $c$ (intorno a $B \approx 1.98$ T) mostrano una curvatura $|S_2|$ estremamente bassa. Le simulazioni Monte Carlo prevedono tempi di coerenza iperfine ($T_2^{hyp}$) superiori a 3 secondi per queste configurazioni, un miglioramento di tre ordini di grandezza rispetto alle transizioni lungo l'asse $c$.
• Robustezza: L'analisi di stabilità mostra che la coerenza è resiliente alle fluttuazioni angolari lungo l'anello ZEFOZ, ma richiede un controllo preciso dell'intensità del campo magnetico.

5. Significato

Questo studio stabilisce il $\text{CaWO}_4$ drogato con $^{167}\text{Er}^{3+}$ come una piattaforma estremamente promettente per le memorie quantistiche a lungo termine.

• Accesso alle Telecomunicazioni: La combinazione di lunghi tempi di coerenza (secondi) e l'accesso ottico nella banda C rende questo sistema ideale per i ripetitori quantistici e le reti quantistiche distribuite.
• Correzione Teorica: L'inclusione dell'interazione quadrupolare nucleare è dimostrata essere critica per la modellazione accurata degli ioni di terre rare in siti cristallini con bassa simmetria o gradienti di campo elettrico significativi.
• Scalabilità: La possibilità di operare a campi magnetici moderati (circa 2 T) e la presenza di punti ZEFOZ "a anello" offrono flessibilità sperimentale per l'implementazione di dispositivi quantistici scalabili.

In sintesi, il lavoro risolve un problema di modellazione fondamentale e apre la strada all'utilizzo pratico di memorie quantistiche basate su erbio con prestazioni senza precedenti.