Boundary regularity for parabolic systems with nonstandard $(p,q)$-growth conditions in smooth convex domains

Sintesi Tecnica di "Boundary Regularity for Parabolic Systems with Nonstandard (p, q)-Growth Conditions in Smooth Convex Domains"

Enunciato del Problema
Questo manoscritto investiga la regolarità al bordo delle soluzioni deboli locali di sistemi parabolici non lineari della forma:
$$\partial_t u_i - \text{div}(a(|Du|)Du_i) = f_i, \quad i = 1, \dots, N,$$
definiti in un cilindro spazio-temporale $\Omega_T = \Omega \times (0, T)$. Il dominio $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ ($n \ge 2$) è un insieme convesso $C^2$ limitato. I coefficienti $a: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0}$ sono di tipo Uhlenbeck e soddisfano condizioni di crescita non standard $(p, q)$ con $2 \le p \le q < p + \frac{4}{n+2}$. L'inomogeneità $f$ appartiene a $L^{n+2+\sigma}(\Omega_T, \mathbb{R}^N)$ per qualche $\sigma > 0$.

L'obiettivo primario è stabilire una stima locale del gradiente in $L^\infty$ (regolarità Lipschitziana) per soluzioni deboli $u$ che si annullano sul bordo laterale $(\partial \Omega)_T$, estendendo i precedenti risultati interi al bordo nel contesto della crescita non standard.

Metodologia
La strategia di prova segue un approccio in tre fasi, adattando le tecniche della teoria della regolarità ellittica e parabolica standard al contesto della crescita non standard:

1. Stime A Priori per Soluzioni Regolari:
   Gli autori derivano innanzitutto una stima quantitativa del gradiente in $L^\infty$ per soluzioni classiche regolari ($u \in C^3$) con coefficienti e dati regolari. Ciò comporta:

   • L'instaurazione di una disuguaglianza di tipo Caccioppoli coinvolgente le derivate del secondo ordine, utilizzando la convessità di $\Omega$ e le condizioni al contorno di Dirichlet omogenee per scartare termini di bordo sfavorevoli tramite un'identità di geometria differenziale (Grisvard).
   • La derivazione di una disuguaglianza di tipo Hölder inversa. Questo passaggio si basa sulla specifica relazione tra i parametri $q < p + \frac{4}{n+2}$, che assicura che l'imbedimento di Sobolev nel contesto parabolico (miglioramento dell'integrabilità da $p$ a $p + \frac{4}{n}$) sia sufficiente per chiudere la stima.
   • L'esecuzione di una procedura di iterazione di Moser per ottenere un limite $L^\infty$. Un componente critico è la gestione del "deficit di scala" inerente ai sistemi di crescita $(p, q)$, che impedisce alla stima di essere omogenea.

2. Procedura di Approssimazione:
   Poiché il risultato principale si applica a soluzioni deboli con dati e coefficienti non regolari, viene costruita uno schema di approssimazione:

   • I coefficienti $a$ e il dato $f$ vengono regolarizzati tramite mollificazione per ottenere approssimazioni regolari $a_\varepsilon$ e $f_\varepsilon$.
   • Viene aggiunto un termine simile al $q$-Laplaciano non degenere ai coefficienti per definire $b_\varepsilon$, garantendo condizioni di crescita $q$ standard che assicurano l'esistenza di uniche soluzioni deboli regolari ($C^3$) $u_\varepsilon$.
   • Viene dimostrata una stima di confronto tra le soluzioni approssimanti $u_\varepsilon$ e la soluzione debole originale $u$, dimostrando la convergenza forte dei gradienti $Du_\varepsilon \to Du$ in $L^p$.

3. Passaggio al Limite:
   La stima quantitativa del gradiente in $L^\infty$ derivata per le approssimazioni regolari viene applicata a $u_\varepsilon$. Passando al limite per $\varepsilon \to 0$ e utilizzando la semicontinuità inferiore della norma $L^\infty$ e la convergenza dei dati, la stima viene trasferita alla soluzione debole originale $u$.

Contributi Chiave e Risultati
Il risultato principale è il Teorema 1.3, che stabilisce che per ogni soluzione debole locale $u$ che si annulla sul bordo laterale, il gradiente $Du$ è essenzialmente limitato in un intorno del bordo. Nello specifico, per ogni cilindro parabolico $Q_\rho(z_0)$ centrato in un punto del bordo $x_0 \in \partial \Omega$:
$$Du \in L^\infty(\Omega_T \cap Q_\rho(z_0), \mathbb{R}^{Nn}).$$
Il documento fornisce una stima quantitativa precisa (Equazione 1.6):
$$\sup_{\Omega_T \cap Q_\rho(z_0)} |Du| \le C \left( \left( 1 + \|f\|_{L^{n+2+\sigma}}^{(n+2)(n+2+\sigma)/\sigma} \rho^{n+2} \right) \fint_{\Omega_T \cap Q_{2\rho}(z_0)} (1 + |Du|^p) \, dxdt \right)^{\frac{2p}{4+(p-q)(n+2)}}.$$

Le caratteristiche tecniche chiave di questo risultato includono:

• Intervallo dei Parametri: Il risultato è valido per l'intervallo $2 \le p \le q < p + \frac{4}{n+2}$. Questo intervallo coincide con i recenti risultati interi per sistemi parabolici con crescita non standard $(p, q)$ ma è adattato per l'ambito del bordo.
• Deficit di Scala: L'esponente $\frac{2p}{4+(p-q)(n+2)}$ rappresenta il deficit di scala caratteristico dei sistemi parabolici con crescita non standard. Il documento nota che questo esponente diverge quando $q$ si avvicina al limite superiore $p + \frac{4}{n+2}$, evidenziando la precisione (sharpness) della condizione.
• Regolarità del Dominio: La prova richiede che $\Omega$ sia un dominio $C^2$. Tale regolarità è essenziale per l'applicazione dell'identità di geometria differenziale utilizzata per gestire gli integrali di bordo nella stima di Caccioppoli.
• Regolarità dei Dati: Si assume che l'inomogeneità $f$ appartenga a $L^{n+2+\sigma}$, il che è sufficiente per la derivazione della stima senza richiedere la debole derivabilità di $f$.

Significato e Rivendicazioni
Il lavoro posiziona la propria ricerca come il controparte al bordo dei risultati esistenti sulla regolarità interiore per sistemi parabolici con crescita non standard $(p, q)$ (citando [6, 42]) ed estende la teoria della regolarità al bordo nota per i sistemi parabolici con crescita $p$ standard (citando [5]) al caso non standard.

Gli autori affermano che questo lavoro colma una lacuna nella letteratura riguardante la regolarità globale (fino al bordo) per sistemi parabolici con crescita non standard, un argomento dove i risultati sono significativamente più rari rispetto al contesto ellittico. La stima fornita è coerente con i precedenti risultati al bordo nel setting ellittico $(p, q)$ [7] e nel caso parabolico $(p, p)$ [5]. Il documento non pretende di risolvere il problema per il caso degenere ($\mu=0$) o per strutture non-Uhlenbeck generali, osservando che queste ultime tipicamente permettono solo una regolarità parziale. Il focus rimane strettamente sull'établire il limite locale Lipschitz sotto le specificate assunzioni strutturali e geometriche.