Boundary regularity for parabolic systems with nonstandard $(p,q)$-growth conditions in smooth convex domains

技术摘要：“具有非标准 (p, q)-增长条件的光滑凸区域内抛物型系统的边界正则性”

问题陈述
本手稿研究了如下形式的非线性抛物型系统局部弱解的边界正则性：
$$\partial_t u_i - \text{div}(a(|Du|)Du_i) = f_i, \quad i = 1, \dots, N,$$
定义在时空柱体 $\Omega_T = \Omega \times (0, T)$ 中。区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ ($n \ge 2$) 是一个有界、凸的 $C^2$ 集。系数 $a: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0}$ 为 Uhlenbeck 型，并满足非标准 $(p, q)$-增长条件，其中 $2 \le p \le q < p + \frac{4}{n+2}$。非齐次项 $f$ 属于 $L^{n+2+\sigma}(\Omega_T, \mathbb{R}^N)$，其中 $\sigma > 0$。

主要目标是为消失在侧向边界 $(\partial \Omega)_T$ 上的弱解 $u$ 建立局部 $L^\infty$-梯度估计（Lipschitz 正则性），从而将先前的内正则性结果扩展到边界情形，且是在非标准增长的背景下。

方法论
证明策略遵循三步法，旨在将椭圆及标准抛物型正则性理论的技术应用于非标准增长设定：

1. 光滑解的先验估计：
   作者首先为光滑经典解（$u \in C^3$）且具有光滑系数和数据的情况推导了定量 $L^\infty$-梯度估计。这包括：

   • 建立涉及二阶导数的 Caccioppoli 型不等式，利用 $\Omega$ 的凸性和齐次 Dirichlet 边界条件，通过微分几何恒等式（Grisvard）来消除不利的边界项。
   • 推导反向 Hölder 型不等式。这一步依赖于特定的参数关系 $q < p + \frac{4}{n+2}$，该关系确保了抛物型设定下的 Sobolev 嵌入（将可积性从 $p$ 提高到 $p + \frac{4}{n}$）足以封闭估计。
   • 执行 Moser 迭代程序以获得 $L^\infty$ 界。一个关键组成部分是处理非标准增长系统中固有的“标度缺陷”（scaling deficit），这使得估计不再具有齐次性。

2. 逼近程序：
   由于主要结果适用于具有非光滑数据和系数的弱解，因此构建了一个逼近方案：

   • 对系数 $a$ 和数据 $f$ 进行光滑化处理，得到光滑逼近项 $a_\varepsilon$ 和 $f_\varepsilon$。
   • 在系数中添加一个非退化的类 $q$-Laplacian 项以定义 $b_\varepsilon$，从而确保满足标准 $q$-增长条件，从而保证存在唯一的正则（$C^3$）弱解 $u_\varepsilon$。
   • 证明逼近解 $u_\varepsilon$ 与原弱解 $u$ 之间的比较估计，证明其梯度 $Du_\varepsilon \to Du$ 在 $L^p$ 中强收敛。

3. 极限传递：
   将为光滑逼近解推导出的定量 $L^\infty$-梯度估计应用于 $u_\varepsilon$。通过令 $\varepsilon \to 0$ 并利用 $L^\infty$-范数的下半连续性和数据的收敛性，将估计传递给原始弱解 $u$。

核心贡献与结果
主要结果为 定理 1.3，它确立了对于在侧向边界上消失的任何局部弱解 $u$，其梯度 $Du$在边界的一个邻域内是本质有界的。具体而言，对于以边界点$x_0 \in \partial \Omega$为中心的抛物柱$Q_\rho(z_0)$：
$$Du \in L^\infty(\Omega_T \cap Q_\rho(z_0), \mathbb{R}^{Nn}).$$
本文提供了一个精确的定量估计（公式 1.6）：
$$\sup_{\Omega_T \cap Q_\rho(z_0)} |Du| \le C \left( \left( 1 + \|f\|_{L^{n+2+\sigma}}^{(n+2)(n+2+\sigma)/\sigma} \rho^{n+2} \right) \fint_{\Omega_T \cap Q_{2\rho}(z_0)} (1 + |Du|^p) \, dxdt \right)^{\frac{2p}{4+(p-q)(n+2)}}.$$

该结果的关键技术特征包括：

• 参数范围： 结果适用于 $2 \le p \le q < p + \frac{4}{n+2}$ 的范围。该范围与最近关于非标准增长的内正则性结果一致，但针对边界情形进行了调整。
• 标度缺陷： 指数 $\frac{2p}{4+(p-q)(n+2)}$ 代表了具有非标准增长的抛物型系统特有的标度缺陷。论文指出，当 $q$ 趋于上界 $p + \frac{4}{n+2}$ 时，该指数会发生爆炸，凸显了该条件的锐利性。
• 区域正则性： 证明要求 $\Omega$ 为 $C^2$ 区域。这种正则性对于应用用于处理 Caccioppoli 估计中边界积分的微分几何恒等式至关重要。
• 数据正则性： 非齐次项 $f$ 被假设属于 $L^{n+2+\sigma}$，这足以在不需要 $f$ 的弱微分性的情况下推导估计。

意义与主张
本文将自身定位为现有非标准 $(p, q)$-增长抛物型系统内正则性结果（引用 [6, 42]）的边界对应研究，并将已知于标准 $p$-增长抛物型系统（引用 [5]）的边界正则性理论扩展到了非标准情形。

作者声称，这项工作填补了文献中关于非标准增长抛物型系统全局（直至边界）正则性的空白，此类课题在椭圆情形中研究较多，但在抛物型情形中结果显著较少。所提供的估计与之前的椭圆 $(p, q)$-设定下的边界结果 [7] 以及抛物型 $(p, p)$-情形 [5] 是一致的。本文并未声称解决了退化情况（$\mu=0$）或一般非 Uhlenbeck 结构的问题，并指出后者通常仅允许部分正则性。研究重点严格限于在指定的结构和几何假设下建立局部 Lipschitz 界。