Complete Operator Basis for the modular invariant SMEFT

Sintesi Tecnica: Base di Operatori Completa per la SMEFT Invariante Modulare

Problematica
Il Modello Standard (SM) descrive con successo la fisica delle particelle, ma lascia inspiegata l'origine delle gerarchie di flavor e dei pattern di mixing. Sebbene la Minimal Flavor Violation (MFV) affronti questo problema trattando le accoppiamenti di Yukawa come spurioni, essa non predice la specifica struttura di tali accoppiamenti. Le simmetrie di flavor discrete (ad esempio $A_4$) offrono un approccio bottom-up, ma spesso richiedono molteplici campi flavon e specifici allineamenti del vuoto, portando a uno spazio di parametri esteso e a una ridotta predittività. La simmetria di flavor modulare fornisce un'alternativa in cui gli accoppiamenti di Yukawa derivano da forme modulari olo-morfiche di un modulo $\tau$, eliminando la necessità di flavon. Tuttavia, estendere questo framework alla Standard Model Effective Field Theory (SMEFT) presenta delle sfide:

1. Ridondanza: La costruzione ingenua di operatori di dimensione superiore porta spesso a strutture linearmente dipendenti a causa delle relazioni algebriche tra le forme modulari.
2. Olo-morfia vs. Non-Olo-morfia: Sebbene il superpotenziale nelle teorie supersimmetriche (SUSY) sia olo-morfico, il Lagrangiano generale dello SM (e i suoi operatori effettivi) non lo è. Le forme modulari non olo-morfiche (ad esempio, le forme di Maaß poliarmoniche) non sono chiuse sotto moltiplicazione, il che potrebbe portare a una proliferazione infinita di operatori indipendenti se non vincolate.
3. Completezza: Una base sistematica, finita e completa di operatori SMEFT invarianti per modulo fino alla dimensione 7 non è stata ancora pienamente stabilita utilizzando tecniche di conteggio moderne.

Metodologia
Gli autori utilizzano la tecnica della serie di Hilbert, uno strumento algebrico potente per contare gli operatori indipendenti invarianti sotto simmetrie specifiche, tenendo conto delle ridondanze derivanti dall'integrazione per parti (IBP) e dalle equazioni del moto (EOM).

1. Setup del Modello:

   • Il gruppo di flavor è preso come $A_4^{(q)} \times A_4^{(e)}$, con moduli distinti $\tau_q$ ed $\tau_e$ per i settori quark e leptone.
   • I fermioni sinistorotanti sono assegnati a triplette di $A_4$, mentre i fermioni destrorotanti sono assegnati a singoletti iniqui ($1, 1', 1''$).
   • Il doppietto di Higgs ha un peso modulare 0.
   • Assunzione di tipo MFV: La rottura del flavor è controllata esclusivamente dai valori di aspettazione del vuoto (VEV) dei moduli, $\langle \tau \rangle$. Le forme modulari agiscono come spuroni fondamentali.
   • Caso Olo-morfico: Gli autori assumono che il settore di Yukawa al primo ordine sia olo-morfico. Gli operatori di peso modulare superiore sono generati tramite prodotti tensoriali simmetrici del fondamentale di peso-2 $Y_3^{(2)}$.
   • Caso Non-Olo-morfico: Gli autori considerano le forme di Maaß poliarmoniche. Per evitare una base di operatori infinita, impongono un principio organizzativo minimo: gli operatori di dimensione superiore sono costruiti come $[Y_r^{(k_Y)} Y_{r'}^{(k'_Y)*} \mathcal{O}]_1$, dove la compensazione del peso modulare è fornita interamente da forme modulari indipendenti, piuttosto che da potenze arbitrarie di $\text{Im}\tau$.

2. Framework Computazionale:

   • La serie di Hilbert è calcolata per il gruppo continuo (simmetrie di Lorentz e di gauge) e per il gruppo discreto ($A_4$).
   • Due approcci equivalenti vengono utilizzati per verificare la base:
     1. Conteggio diretto usando la serie di Hilbert trattando le forme modulari come spuroni.
     2. Costruzione esplicita tramite prodotti tensoriali di forme modulari e operatori di campo, proiettando sul singoletto banale.
   • I vincoli specifici delle forme modulari $A_4$ (ad esempio, $Y_2^2 + 2Y_1Y_3 = 0$ per il peso 2) sono esplicitamente incorporati per rimuovere le strutture ridondanti.

Contributi Chiave e Risultati

1. SMEFT $A_4$ Modulare Olo-morfica:

   • Dimensione-5: Gli autori identificano 6 operatori indipendenti (3 strutture complesse e le loro coniugate) per l'operatore di Weinberg. Dimostrano che le costruzioni precedenti (ad esempio, Rif. [89]) contenevano ridondanze dovute a dipendenze lineari tra i prodotti tensoriali delle forme modulari. La serie di Hilbert isola correttamente le 3 strutture singolette indipendenti: $Y_3^{(4)}[(LH)(LH)]_3$, $Y_1^{(4)}[(LH)(LH)]_1$, e $Y_{1'}^{(4)}[(LH)(LH)]_{1''}$.
   • Dimensione-6: Viene fornita un'enumerazione completa di 2.961 operatori indipendenti. Questo include:
     • 15 operatori bosonici.
     • 24 operatori $\psi^2 H^3$.
     • 66 operatori $\psi^2 X H$.
     • 67 operatori $\psi^2 H^2 D$.
     • 2.789 operatori a quattro fermioni ($\psi^4$).
   • Gli autori costruiscono esplicitamente tutti gli operatori di dimensione 6 che conservano il numero di barione e leptone, dettagliando le contrazioni di flavor per le strutture bilineari e quadrilineari.
   • Dimensione-7: La serie di Hilbert produce 360 operatori indipendenti alla dimensione 7.

2. Estensione Non-Olo-morfica (Forme di Maaß Poliarmoniche):

   • Il lavoro affronta il caso in cui le forme modulari siano non olo-morfiche. A differenza del caso olo-morfico, i prodotti di forme non olo-morfiche non soddisfano generalmente la condizione di Laplaciano, il che significa che non possono essere generati da una singola forma seme.
   • Per mantenere una base finita, gli autori adottano l'ansatz $[Y_r^{(k_Y)} Y_{r'}^{(k'_Y)*} \mathcal{O}]_1$.
   • Utilizzando il modello leptone di riferimento del Rif. [90], ricostruiscono l'operatore di Weinberg di dimensione 5 e gli operatori leptonici di dimensione 6. Mostrano che, sotto questo assunto minimo, la struttura riproduce i risultati di riferimento evitando la torre infinita di operatori che deriverebbe dal trattare tutte le combinazioni non olo-morfiche come indipendenti.

3. Confronto con la Letteratura Esistente:

   • Il lavoro perfeziona il conteggio degli operatori nel Rif. [89]. Gli autori dimostrano che l'ansatz di "fattorizzazione stringa-simile" usato in [89] porta a un conteggio eccessivo perché non tiene conto delle relazioni algebriche (kernel della mappa di moltiplicazione) intrinseche nell'anello delle forme modulari. Il metodo della serie di Hilbert rimuove sistematicamente queste ridondanze.

Significatività e Rivendicazioni
Il lavoro sostiene di fornire la prima base di operatori completa e indipendente per la SMEFT sotto simmetria di flavor modulare $A_4$, utilizzando la serie di Hilbert per gestire rigorosamente le ridondanze di flavor.

• Classificazione Sistematica: Stabilisce che gli operatori di dimensione superiore possono essere formalmente organizzati come singoletti della forma $[Y_r^{(k_Y)}, Y_{r'}^{(k'_Y)*}, \mathcal{O}]_1$.
• Base Finita: Trattando le forme modulari come l'unica fonte di rottura del flavor (un approccio di tipo MFV) e trascurando la dipendenza esplicita da $\text{Im}\tau$ negli operatori di dimensione superiore, gli autori assicurano che la base degli operatori rimanga finita e gestibile, anche nel caso non olo-morfico.
• Predittività vs. Complessità: Gli autori notano con modestia che, sebbene i vincoli modulari riducano il numero di operatori rispetto a una generale SMEFT che viola il flavor, la riduzione non è così drastica come nella MFV standard (dove il conteggio scende da ~3000 a ~900). Nel loro setup, il conteggio è ~2.961, suggerendo che, sebbene la simmetria modulare fornisca un'origine strutturata per il flavor, essa non riduce ancora drasticamente lo spazio dei parametri senza vincoli aggiuntivi.
• Connessione UV: La costruzione olo-morfica è motivata da una potenziale connessione a una completamento UV supersimmetrico invariante per modulo, dove gli operatori effettivi derivano dalle interazioni F-term. L'estensione non olo-morfica offre un framework per scenari in cui i contributi D-term o i completamenti non-SUSY sono rilevanti.

In sintesi, il lavoro fornisce una base matematica rigorosa per la costruzione di teorie di campo efficace invarianti per modulo, correggendo i precedenti problemi di conteggio eccessivo e offrendo un catalogo completo di operatori fino alla dimensione 7 per studi fenomenologici.