Complete Operator Basis for the modular invariant SMEFT

Technische Samenvatting: Volledige Operatorbasis voor de Modulaire Invariante SMEFT

Probleemstelling
Het Standaardmodel (SM) beschrijft de deeltjesfysica succesvol, maar laat de oorsprong van de flavor-hiërarchieën en mengpatronen onverklaard. Hoewel Minimal Flavor Violation (MFV) dit aanpakt door Yukawa-koppelingen als spurions te behandteren, voorspelt het niet de specifieke structuur van deze koppelingen. Discrete flavorsymmetrieën (bijv. $A_4$) bieden een bottom-up benadering, maar vereisen vaak meerdere flavon-velden en specifieke vacuümalignementen, wat leidt tot een grote parameterruimte en verminderde voorspelbaarheid. Modulaire flavorsymmetrie biedt een alternatief waarbij Yukawa-koppelingen voortkomen uit holomorfe modulaire vormen van een modulus $\tau$, waardoor de noodzaak voor flavons wordt geëlimineerd. Het uitbreiden van dit kader naar de Standard Model Effective Field Theory (SMEFT) brengt echter uitdagingen met zich mee:

1. Redundantie: Naïve constructie van hogere-orde operatoren leidt vaak tot lineair afhankelijke structuren door algebraïsche relaties tussen modulaire vormen.
2. Holomorfie vs. Niet-holomorfie: Hoewel de superpotentiaal in supersymmetrische (SUSY) theorieën holomorf is, is de algemene SM-Lagrangiaan (en de effectieve operatoren) dat niet. Niet-holomorfe modulaire vormen (bijv. polyharmonische Maaß-vormen) zijn niet gesloten onder vermenigvuldiging, wat kan leiden tot een oneindige proliferatie van onafhankelijke operatoren als ze niet worden beperkt.
3. Volledigheid: Een systematische, eindige en volledige basis van modulaire-invariante SMEFT-operatoren tot dimensie 7 is nog niet volledig vastgesteld met behulp van moderne teltechnieken.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van de Hilbert-reeks techniek, een krachtig algebraïsch hulpmiddel voor het tellen van onafhankelijke operatoren die invariant zijn onder specifieke symmetrieën, terwijl rekening wordt gehouden met redundantie door integratie door delen (IBP) en vergelijkingen van beweging (EOM).

1. Modelopstelling:

   • De flavorgroep is genomen als $A_4^{(q)} \times A_4^{(e)}$, met verschillende moduli $\tau_q$ en $\tau_e$ voor de quark- en leptonsectoren.
   • Linkshandige fermionen worden toegewezen aan $A_4$-triplets, terwijl rechtshandige fermionen worden toegewezen aan ongelijke singlets ($1, 1', 1''$).
   • Het Higgs-dubbelte staat een modulaire gewicht van 0.
   • MFV-achtige Aanname: Flavor-breking wordt uitsluitend gecontroleerd door de vacuümverwachtingswaarden (VEVs) van de moduli, $\langle \tau \rangle$. Modulaire vormen fungeren als de fundamentele spurions.
   • Holof case: De auteurs nemen aan dat de leidende orde Yukawa-sector holomorf is. Hogere-gewicht modulaire vormen worden gegenereerd via symmetrische tensorproducten van de fundamentele gewicht-2 triplet $Y_3^{(2)}$.
   • Niet-holof case: De auteurs beschouwen polyharmonische Maaß-vormen. Om een oneindige operatorbasis te voorkomen, hanteren zij een minimaal organiserend principe: hogere-dimensie operatoren worden geconstrueerd als $[Y_r^{(k_Y)} Y_{r'}^{(k'_Y)*} \mathcal{O}]_1$, waarbij de modulaire gewichtscompensatie volledig wordt geleverd door onafhankelijke modulaire vormen, in plaats van willekeurige machten van $\text{Im}\tau$.

2. Computationeel Kader:

   • De Hilbert-reeks wordt berekend voor de continue groep (Lorentz- en gauge-symmetrieën) en de discrete groep ($A_4$).
   • Twee equivalente benaderingen worden gebruikt om de basis te verifiëren:
     1. Direct tellen met de Hilbert-reeks waarbij modulaire vormen als spurions worden behandeld.
     2. Expliciete constructie via tensorproducten van modulaire vormen en veldoperatoren, projecterend op de triviale singlet.
   • Specifieke beperkingen van $A_4$ modulaire vormen (bijv. $Y_2^2 + 2Y_1Y_3 = 0$ voor gewicht 2) worden expliciet geïncorporeerd om redundante structuren te verwijderen.

Kernbijdragen en Resultaten

1. Holof $A_4$ Modulair Invariante SMEFT:

   • Dimensie-5: De auteurs identificeren 6 onafhankelijke operatoren (3 complexe structuren en hun conjugaten) voor de Weinberg-operator. Zij tonen aan dat eerdere constructies (bijv. Ref. [89]) redundanties bevatten door lineaire afhankelijkheden tussen tensorproducten van modulaire vormen. De Hilbert-reeks isoleert correct de 3 onafhankelijke singlet-structuren: $Y_3^{(4)}[(LH)(LH)]_3$, $Y_1^{(4)}[(LH)(LH)]_1$, en $Y_{1'}^{(4)}[(LH)(LH)]_{1''}$.
   • Dimensie-6: Een volledige enumeratie van 2.961 onafhankelijke operatoren wordt verstrekt. Dit omvat:
     • 15 bosonische operatoren.
     • 24 $\psi^2 H^3$ operatoren.
     • 66 $\psi^2 X H$ operatoren.
     • 67 $\psi^2 H^2 D$ operatoren.
     • 2.789 vier-fermion operatoren ($\psi^4$).
   • De auteurs construeren expliciet alle baryon- en leptongetal-conserverende dimensie-6 operatoren, waarbij de flavor-contracties voor bilineaire en quadrilineaire structuren worden gedetailleerd.
   • Dimensie-7: De Hilbert-reeks levert 360 onafhankelijke operatoren bij dimensie 7.

2. Niet-holof Uitbreiding (Polyharmonische Maaß-vormen):

   • De auteurs adresseren het geval waarin modulaire vormen niet-holomorf zijn. In tegen tegenstelling tot het holof geval, voldoen producten van niet-holof vormen over het algemeen niet aan de Laplaciaan-voorwaarde, wat betekent dat ze niet kunnen worden gegenereerd vanuit een enkele zaadvorm (seed form).
   • Om een eindige basis te behouden, hanteren de auteurs de ansatz $[Y_r^{(k_Y)} Y_{r'}^{(k'_Y)*} \mathcal{O}]_1$.
   • Gebruikmakend van het benchmark lepton-model uit Ref. [90], reconstrueren zij de dimensie-5 Weinberg-operator en dimensie-6 lepton-operatoren. Zij tonen aan dat onder deze minimale aanname, de structuur de benchmark-resultaten reproduceert terwijl de oneindige reeks operatoren wordt vermeden die zou ontstaan als alle niet-holof combinaties als onafhankelijk worden behandeld.

3. Vergelijking met Bestaande Literatuur:

   • Dit werk verfijnt de operator-telling in Ref. [89]. De auteurs tonen aan dat de "stringy factorization" ansatz gebruikt in [89] leidt tot overtelling omdat het er niet in slaagt de algebraïsche relaties (de kernel van de vermenigvuldigingskaart) te houden die inherent zijn aan de ring van modulaire vormen. De Hilbert-reeks methode verwijdert deze redundanties systematisch.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt de eerste volledige en onafhankelijke operatorbasis te bieden voor SMEFT onder modulaire $A_4$ flavorsymmetrie, gebruikmakend van de Hilbert-reeks om de flavor-redundanties rigoureus te behandelen.

• Systematische Classificatie: Het stelt vast dat hogere-orde operatoren formeel georganiseerd kunnen worden als singlets van de vorm $[Y_r^{(k_Y)}, Y_{r'}^{(k'_Y)*}, \mathcal{O}]_1$.
• Eindige Basis: Door modulaire vormen als de enige bronnen van flavor-breking te behandelen (een MFV-achtige benadering) en expliciete $\text{Im}\tau$ afhankelijkheid in hogere-orde operatoren te verwaarlozen, zorgen de auteurs ervoor dat de operatorbasis eindig en beheersbaar blijft, zelfs in het niet-holof geval.
• Voorspelbaarheid vs. Complexiteit: De auteurs merken bescheiden op dat hoewel de modulaire beperkingen het aantal operatoren verminderen vergeleken met een algemene flavor-schendende SMEFT, de reductie niet zo drastisch is als in standaard MFV (waar de telling daalt van ~3000 naar ~900). In hun setup is de telling ~2.961, wat suggereert dat hoewel modulaire symmetrie een gestructureerde oorsprong voor flavor biedt, het de parameterruimte nog niet drastisch verkleint zonder aanvullende beperkingen.
• UV-Connectie: De holof constructie wordt gemotiveerd door een potentiële connectie met een modulaire-invariante SUSY UV-completion, waarbij de effectieve operatoren afstammen van F-term interacties. De niet-holof uitbreiding biedt een kader voor scenario's waar D-term bijdragen of niet-SUSY completions relevant zijn.

Samenvattend biedt dit werk een rigoureuze wiskundige fundering voor het construeren van modulaire-invariante effectieve veldentheorieën, waarbij de problemen van eerdere overtelling worden gecorrigeerd en een volledige catalogus van operatoren tot dimensie 7 wordt aangeboden voor fenomenologische studies.