Complete Operator Basis for the modular invariant SMEFT

Resumen Técnico: Base de Operadores Completa para el SMEFT Modular Invariante

Planteamiento del Problema
El Modelo Estándar (SM) describe con éxito la física de partículas, pero deja sin explicar el origen de las jerarquías de sabor y los patrones de mezcla. Mientras que la Violación Mínima de Sabor (MFV) aborda esto tratando las constantes de Yukawa como spurions, no predice la estructura específica de dichas constantes. Las simetrías de sabor discretas (por ejemplo, $A_4$) ofrecen un enfoque bottom-up, pero a menudo requieren múltiples campos de flavones y alineamientos de vacío específicos, lo que conduce a un gran espacio de parámetros y una predictividad reducida. La simetría de sabor modular proporciona una alternativa donde las constantes de Yukawa surgen de formas modulares holomorfas de un módulo $\tau$, eliminando la necesidad de flavones. Sin embargo, extender este marco a la Teoría de Campo Efectiva del Modelo Estándar (SMEFT) presenta desafíos:

1. Redundancia: La construcción ingenua de operadores de dimensión superior a menudo conduce a estructuras linealmente dependientes debido a las relaciones algebraicas entre las formas modulares.
2. Holomorfía vs. No-Holomorfía: Si bien la superpotencial en las teorías supersimétricas (SUSY) es holomorfa, el Lagrangiano general del SM (y sus operadores efectivos) no lo es. Las formas modulares no holomorfas (por ejemplo, las formas de Maaß poliharmónicas) no son cerradas bajo la multiplicación, lo que potencialmente conduce a una proliferación infinita de operadores independientes si no se restringen.
3. Completitud: No se ha establecido plenamente una base sistemática, finita y completa de operadores de SMEFT invariantes modulares hasta la dimensión 7 utilizando técnicas de conteo modernas.

Metodología
Los autores emplean la técnica de la serie de Hilbert, una poderosa herramienta algebraica para contar operadores independientes invariantes bajo simetrías específicas, teniendo en cuenta las redundancias por integración por partes (IBP) y ecuaciones de movimiento (EOM).

1. Configuración del Modelo:

   • El grupo de sabor se toma como $A_4^{(q)} \times A_4^{(e)}$, con módulos distintos $\tau_q$ y $\tau_e$ para los sectores de quarks y leptones.
   • Los fermiones de mano izquierda se asignan a tripletes de $A_4$, mientras que los fermiones de mano derecha se asignan a singletes inequivalentes ($1, 1', 1''$).
   • El doblete de Higgs posee un peso modular 0.
   • Suposición tipo MFV: La ruptura de sabor está controlada únicamente por los valores de vacío (VEVs) de los módulos, $\langle \tau \rangle$. Las formas modulares actúan como los spurions fundamentales.
   • Caso Holomorfo: Los autores asumen que el sector de Yukawa de orden principal es holomorfo. Las formas modulares de mayor peso se generan mediante productos tensoriales simétricos de la fundamental de peso-2 $Y_3^{(2)}$.
   • Caso No-Holomorfo: Los autores consideran formas de Maaß poliharmónicas. Para evitar una base de operadores infinita, imponen un principio de organización mínimo: los operadores de dimensión superior se construyen como $[Y_r^{(k_Y)} Y_{r'}^{(k'_Y)*} \mathcal{O}]_1$, donde la compensación del peso modular es suministrada enteramente por formas modulares independientes, en lugar de potencias arbitrarias de $\text{Im}\tau$.

2. Marco Computacional:

   • La serie de Hilbert se calcula para el grupo continuo (simetrías de Lorentz y de gauge) y el grupo discreto ($A_4$).
   • Se utilizan dos enfoques equivalentes para verificar la base:
     1. Conteo directo usando la serie de Hilbert tratando las formas modulares como spurions.
     2. Construcción explícita mediante productos tensoriales de formas modulares y operadores de campo, proyectando sobre el singlete trivial.
   • Las restricciones específicas de las formas modulares de $A_4$ (por ejemplo, $Y_2^2 + 2Y_1Y_3 = 0$ para peso 2) se incorporan explícitamente para eliminar estructuras redundantes.

Contribuciones Clave y Resultados

1. SMEFT de $A_4$ Modular Holomorfo:

   • Dimensión-5: Los autores identifican 6 operadores independientes (3 estructuras complejas y sus conjugados) para el operador de Weinberg. Demuestran que construcciones previas (por ejemplo, Ref. [89]) contenían redundancias debido a las dependencias lineales entre productos tensoriales de formas modulares. La serie de Hilbert aísla correctamente las 3 estructuras de singlete independientes: $Y_3^{(4)}[(LH)(LH)]_3$, $Y_1^{(4)}[(LH)(LH)]_1$, y $Y_{1'}^{(4)}[(LH)(LH)]_{1''}$.
   • Dimensión-6: Se proporciona una enumeración completa de 2,961 operadores independientes. Esto incluye:
     • 15 operadores bosónicos.
     • 24 operadores $\psi^2 H^3$.
     • 66 operadores $\psi^2 X H$.
     • 67 operadores $\psi^2 H^2 D$.
     • 2,789 operadores de cuatro fermiones ($\psi^4$).
   • Los autores construyen explícitamente todos los operadores de dimensión 6 que conservan el número bariónico y leptónico, detallando las contracciones de sabor para las estructuras bilineales y cuadrilineales.
   • Dimensión-7: La serie de Hilbert arroja 360 operadores independientes en la dimensión 7.

2. Extensión No-Holomorfa (Formas de Maaß Poliharmónicas):

   • El artículo aborda el caso en el que las formas modulares son no holomorfas. A diferencia del caso holomorfo, los productos de formas no holomorfas no necesariamente satisfacen la condición del Laplaciano, lo que significa que no pueden ser generados a partir de una única forma semilla.
   • Para mantener una base finita, los autores adoptan el ansatz $[Y_r^{(k_Y)} Y_{r'}^{(k'_Y)*} \mathcal{O}]_1$.
   • Utilizando el modelo de leptones de referencia de la Ref. [90], reconstruyen el operador de Weinberg de dimensión-5 y los operadores leptónicos de dimensión-6. Muestran que, bajo este supuesto mínimo, la estructura reproduce los resultados de referencia mientras evita la torre infinita de operadores que surgiría de tratar todas las combinaciones no holomorfas como independientes.

3. Comparación con la Literatura Existente:

   • El trabajo refina el conteo de operadores de la Ref. [89]. Los autores muestran que el ansatz de "factorización stringy" utilizado en [89] conduce a un sobreconteo porque no tiene en cuenta las relaciones algebraicas (el núcleo del mapa de multiplicación) inherentes al anillo de formas modulares. El método de la serie de Hilbert elimina sistemáticamente estas redundancias.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar la primera base de operadores completa e independiente para el SMEFT bajo la simetría de sabor modular $A_4$, utilizando la serie de Hilbert para manejar rigurosamente las redundancias de sabor.

• Clasificación Sistemática: Establece que los operadores de dimensión superior pueden organizarse formalmente como singletes de la forma $[Y_r^{(k_Y)}, Y_{r'}^{(k'_Y)*}, \mathcal{O}]_1$.
• Base Finita: Al tratar las formas modulares como las únicas fuentes de ruptura de sabor (un enfoque tipo MFV) y despreciar la dependencia explícita de $\text{Im}\tau$ en los operadores de dimensión superior, los autores aseguran que la base de operadores sea finita y manejable, incluso en el caso no holomorfo.
• Predictividad vs. Complejidad: Los autores señalan modestamente que, si bien las restricciones modulares reducen el número de operadores en comparación con un SMEFT general con violación de sabor, la reducción no es tan dramática como en la MFV estándar (donde el conteo cae de ~3000 a ~900). En su configuración, el conteo es de ~2,961, lo que sugiere que, aunque la simetría modular proporciona un origen estructurado para el sabor, aún no reduce drásticamente el espacio de parámetros sin restricciones adicionales.
• Conexión UV: La construcción holomorfa está motivada por una posible conexión con una completitud UV supersimétrica invariante modular, donde los operadores efectivos descienden de interacciones de tipo F-term. La extensión no holomorfa ofrece un marco para escenarios donde las contribuciones de tipo D-term o las completiciones no supersimétricas son relevantes.

En resumen, este trabajo proporciona una base matemática rigurosa para la construcción de teorías de campo efectivas invariantes modulares, corrigiendo problemas previos de sobreconteo y ofreciendo un catálogo completo de operadores hasta la dimensión 7 para estudios fenomenológicos.