On the criticality and the principal eigenvalue of almost periodic elliptic operators

Sintesi Tecnica: Sulla criticità e l'autovalore principale di operatori ellittici quasi periodici

Enunciato del Problema
Il saggio investiga la relazione tra la teoria della criticità e la nozione di autovalore principale generalizzato per operatori ellittici definiti su domini illimitati, con particolare attenzione ad operatori con coefficienti quasi periodici (a.p.). Mentre l'autovalore principale è classicamente ben definito per operatori su domini limitati o per operatori periodici (tramite la teoria di Krein-Rutman), la sua definizione e le sue proprietà diventano ambigue nell'ambito quasi periodico. Il problema centrale è determinare se l'esistenza di un autovalore principale a.p. (un autovalore che ammette una funzione eigen positiva a.p.) sia equivalente al fatto che l'operatore sia critico (ovvero possieda uno spazio monodimensionale di soluzioni positive). Inoltre, il saggio esamina la stabilità della criticità rispetto al passaggio agli operatori limite nel contesto quasi periodico.

Metodologia
L'autore impiega una combinazione di teoria spettrale, analisi delle PDE ellittiche e controesempi costruttivi.

1. Definizioni e Framework: Il saggio utilizza il framework degli autovalori principali generalizzati ($\lambda_1, \lambda'_1, \lambda''_1$) introdotti da Berestycki, Hamel, Nirenberg e Varadhan per domini illimitati. Distingue tra operatori supercritici, critici e subcritici in base alla dimensione dello spazio delle soluzioni positive di $Lu=0$ o all'esistenza di sovrasoluzioni positive.
2. Risultati di tipo Liouville: L'analisi sfrutta i teoremi di tipo Liouville (specificamente quelli di Nordmann e Pinchover) per stabilire le condizioni sotto le quali l'esistenza di una soluzione positiva limitata implica la criticità in basse dimensioni ($N \le 2$).
3. Controesempi Costruttivi: Il cuore della metodologia consiste nella costruzione esplicita di funzioni e operatori quasi periodici. L'autore utilizza una specifica funzione $b(x)$, costruita in un lavoro precedente [27], che è limite-periodica (una sottoclasse di a.p.), dispari e possiede specifiche proprietà integrali. Questa funzione viene utilizzata per definire operatori non autoaggiunti e autoaggiunti della forma $u'' \pm 2b(x)u'$.
4. Trasformazione in Forma Autoaggiunta: Per analizzare le proprietà spettrali, gli operatori non autoaggiunti vengono trasformati in operatori di tipo Schrödinger autoaggiunti tramite un cambio di variabili esponenziale ($v = e^{\int b} u$).
5. Analisi dell'Operatore Limite: Il saggio costruisce sequenze di traslazioni dei coefficienti per definire operatori limite. Analizza il comportamento asintotico delle funzioni costruite per determinare la criticità di tali operatori limite.

Contributi Chiave e Risultati
Il saggio presenta tre risultati primari che chiariscono le distinzioni tra l'ambito periodico e quello quasi periodico:

1. Risultato di tipo Liouville per Operatori A.P.:
   Il saggio stabilisce che per un operatore autoaggiunto con coefficienti regolari che ammette una soluzione a.p. positiva, l'operatore è critico se e solo se la dimensione spaziale è $N \le 2$ (Corollario 2.4). Questo estende i risultati noti per gli operatori periodici al caso quasi periodico sotto l'assunzione di una soluzione a.p.

2. Non Equivalenza tra Criticità e Autovalore Principale A.P. (Controesempio 1):
   L'autore costruisce un operatore autoaggiunto a.p. in dimensione $N=1$ che è critico ma non ammette alcuna funzione eigen positiva a.p.

• Meccanismo: L'operatore $L = \partial_x^2 - 2b(x)\partial_x$ ammette una soluzione positiva limitata $\phi(x) = e^{-\int_0^x b(t)dt}$ che decade a zero all'infinito.
• Risultato: Poiché $\phi$ è l'unica soluzione positiva (a meno di moltiplicazioni scalari) ed essa non è a.p. (a causa del decadimento), l'operatore è critico ma manca di un autovalore principale a.p. Ciò dimosta che la criticità non implica l'esistenza di un autovalore principale a.p., anche in dimensione 1.

3. Instabilità della Criticità sotto i Limiti (Controesempio 2):
   Il saggio mostra un operatore autoaggiunto a.p. $L$ in dimensione $N=1$ che è subcritico con $\lambda_1 = 0$, ma ammette un operatore limite $L^*$ che è critico.

• Meccanismo: Analizzando il limite delle traslazioni dei coefficienti della funzione $b(x)$, viene costruito un operatore limite $L^*$ che ammette una soluzione positiva limitata.
• Risimento: Ciò dimostra che la criticità non è una proprietà invariante rispetto al passaggio agli operatori limite nell'ambito quasi periodico. Un operatore subcritico può avere un limite critico, e viceversa (come notato nella Remark 1), un operatore critico può avere un limite subcritico.

Significatività e Rivendicazioni
Il saggio sostiene di rivelare il "carattere instabile della proprietà di criticità nell'ambito quasi periodico". A differenza del caso periodico, dove la caratteristica di criticità è condivisa da tutti gli operatori limite (che sono semplici traslazioni), l'ambito quasi periodico permette una divergenza tra un operatore e i suoi limiti.

Nello specifico, il saggio evidenzia tre differenze sorprendenti tra operatori periodici e quasi periodici:

1. Un operatore a.p. con $\lambda_1 = 0$ può non essere critico (anche in dimensione 1), mentre per gli operatori periodici, $L + \lambda_1$ è sempre critico in $N \le 2$.
2. L'esistenza di un autovalore principale a.p. non è garantita per operatori critici a.p.
3. La criticità non è preservata sotto la formazione di operatori limite.

Il lavoro funge da revisione ed estensione della teoria dell'autovalore principale generalizzato, chiarendo che le proprietà strutturali degli operatori periodici (come l'equivalenza tra criticità ed esistenza di una funzione eigen periodica in basse dimensioni) non si estendono automaticamente al caso quasi periodico. I risultati si basano su costruzioni elementari e proprietà di funzioni limite-periodiche piuttosto che su strumenti probabilistici, offrendo una prospettiva centrata sulle PDE su questi fenomeni spettrali.