On the criticality and the principal eigenvalue of almost periodic elliptic operators

Résumé technique : Sur la criticité et la valeur propre principale des opérateurs elliptiques presque périodiques

Énoncé du problème
L'article étudie la relation entre la théorie de la criticité et la notion de valeur propre principale généralisée pour les opérateurs elliptiques définis sur des domaines non bornés, en se concentrant spécifiquement sur les opérateurs à coefficients presque périodiques (p.p.). Bien que la valeur propre principale soit classiquement bien définie pour les opérateurs sur des domaines bornés ou pour les opérateurs périodiques (via la théorie de Krein-Rutman), sa définition et ses propriétés deviennent ambiguës dans le cadre presque périodique. Le problème central est de déterminer si l'existence d'une valeur propre principale p.p. (une valeur propre admettant une fonction propre positive p.p.) est équivalente au fait que l'opérateur soit critique (possédant un espace de dimension un de solutions positives). De plus, l'article examine la stabilité de la criticité lors du passage aux opérateurs limites dans le contexte presque périodique.

Méthodologie
L'auteur emploie une combinaison de la théorie spectrale, de l'analyse des EDP elliptiques et de contre-exemples constructifs.

1. Définitions et cadre : L'article utilise le cadre des valeurs propres principales généralisées ($\lambda_1, \lambda'_1, \lambda''_1$) introduites par Berestycki, Hamel, Nirenberg et Varadhan pour les domaines non bornés. Il distingue les opérateurs supercritiques, critiques et sous-critiques en fonction de la dimension de l'espace des solutions positives de $Lu=0$ ou de l'existence de sursolutions positives.
2. Résultats de type Liouville : L'analyse s'appuie sur des théorèmes de type Liouville (spécifiquement ceux de Nordmann et Pinchover) pour établir des conditions sous lesquelles l'existence d'une solution positive bornée implique la criticité dans les basses dimensions ($N \le 2$).
3. Contre-exemples constructifs : Le cœur de la méthodologie implique la construction explicite de fonctions et d'opérateurs presque périodiques. L'auteur utilise une fonction spécifique $b(x)$, construite dans un travail précédent [27], qui est limite-périodique (une sous-classe de p.p.), impaire, et possède des propriétés intégrales spécifiques. Cette fonction est utilisée pour définir des opérateurs non auto-adjoints et auto-adjoints de la forme $u'' \pm 2b(x)u'$.
4. Transformation en forme auto-adjointe : Pour analyser les propriétés spectrales, les opérateurs non auto-adjoints sont transformés en opérateurs de type Schrödinger auto-adjoints via un changement de variable exponentiel ($v = e^{\int b} u$).
5. Analyse des opérateurs limites : L'article construit des séquences de translations des coefficients pour définir des opérateurs limites. L'auteur analyse le comportement asymptotique des fonctions construites pour déterminer la criticité de ces opérateurs limites.

Contributions clés et résultats
L'article présente trois résultats primaires qui clarifient les distinctions entre les cadres périodique et presque périodique :

1. Résultat de type Liouville pour les opérateurs p.p. :
   L'article établit que pour un opérateur auto-adjoint à coefficients réguliers admettant une solution positive p.p., l'opérateur est critique si et seulement si la dimension spatiale $N \le 2$ (Corollaire 2.4). Cela étend les résultats connus pour les opérateurs périodiques au cas presque périodique sous l'hypothèse d'une solution p.p.

2. Non-équivalence de la criticité et de la valeur propre principale p.p. (Contre-exemple 1) :
   L'auteur construit un opérateur auto-adjoint p.p. en dimension $N=1$ qui est critique mais qui n'admet aucune fonction propre positive p.p.

• Mécanisme : L'opérateur $L = \partial_x^2 - 2b(x)\partial_x$ admet une solution positive bornée $\phi(x) = e^{-\int_0^x b(t)dt}$ qui décroît vers zéro à l'infini.
• Résultat : Puisque $\phi$ est l'unique solution positive (à des multiples scalaires près) et qu'elle n'est pas p.p. (en raison de sa décroissance), l'opérateur est critique mais ne possède pas de valeur propre principale p.p. Cela démontre que la criticité n'implique pas l'existence d'une valeur propre principale p.p., même en dimension 1.

3. Instabilité de la criticité sous les limites (Contre-exemple 2) :
   L'article présente un opérateur auto-adjoint p.p. $L$ en dimension $N=1$ qui est sous-critique avec $\lambda_1 = 0$, mais qui admet un opérateur limite $L^*$ qui est critique.

• Mécanisme : En analysant la limite des translations des coefficients de la fonction $b(x)$, un opérateur limite $L^*$ est construit qui admet une solution positive bornée.
• Résultat : Cela montre que la criticité n'est pas une propriété invariante sous le passage aux opérateurs limites dans le cadre presque périodique. Un opérateur sous-critique peut avoir un limite critique, et inversement (comme noté dans la Remarque 1), un opérateur critique peut avoir un limite sous-critique.

Signification et affirmations
L'article affirme révéler le « caractère instable de la propriété de criticité dans le cadre presque périodique ». Contrairement au cas périodique, où le caractère de criticité est partagé par tous les opérateurs limites (qui ne sont que des translations), le cadre presque périodique permet une divergence entre un opérateur et ses limites.

Plus précisément, l'article souligne trois différences frappantes entre les opérateurs périodiques et presque périodiques :

1. Un opérateur p.p. avec $\lambda_1 = 0$ peut ne pas être critique (même en dimension 1), alors que pour les opérateurs périodiques, $L + \lambda_1$ est toujours critique en $N \le 2$.
2. L'existence d'une valeur propre principale p.p. n'est pas garantie pour les opérateurs critiques p.p.
3. La criticité n'est pas préservée lors de la formation d'opérateurs limites.

Ce travail sert de revue et d'extension de la théorie des valeurs propres principales généralisées, clarifiant que les propriétés structurelles des opérateurs périodiques (telles que l'équivalence entre la criticité et l'existence d'une fonction propre périodique dans les basses dimensions) ne s'étendent pas automatiquement au cas presque périodique. Les résultats reposent sur des constructions élémentaires et des propriétés de fonctions limite-périodiques plutôt que sur des outils probabilistes, offrant une perspective centrée sur les EDP sur ces phénomènes spectraux.