Nash-Stackelberg controllability for coupled systems of degenerate equations in non-cylindrical domains

Riassunto Tecnico: Controllabilità di Nash-Stackelberg per sistemi accoppiati di equazioni degenerate in domini non cilindrici

1. Definizione del Problema

Il lavoro affronta il problema della controllabilità nulla gerarchica di un sistema accoppiato di equazioni paraboliche semilineari degenerate. Il sistema è caratterizzato da una struttura di controllo di tipo Stackelberg-Nash, in cui esiste un "leader" (che esercita un controllo $h$) e due "follower" (che esercitano controlli $v_1$ e $v_2$).

Le peculiarità matematiche del problema sono:

• Degenerazione: Il coefficiente di diffusione $a(x)$ si annulla nel bordo (degenere debole), comportandosi come $x^\alpha$ con $\alpha \in (0, 1)$.
• Domini non cilindrici: Il sistema è definito in un dominio $\text{b}\mathcal{Q}$ che evolve nel tempo (domini in movimento), rendendo la geometria non stazionaria.
• Accoppiamento semilineare: Le equazioni sono collegate tramite funzioni non lineari $F_i(u_1, u_2)$ che soddisfano specifiche condizioni di regolarità e derivate limitate.

2. Metodologia

Per gestire la complessità del dominio mobile e della degenerazione, gli autori adottano una strategia metodologica articolata in diverse fasi:

1. Trasformazione in dominio cilindrico: Viene utilizzata una diffeomorfismo $\tau$ per mappare il dominio non cilindrico $\text{b}\mathcal{Q}$ in un dominio cilindrico standard $\mathcal{Q} = \Omega \times (0, T)$. Questa operazione introduce coefficienti tempo-dipendenti nell'equazione, trasformando il problema in un'equazione non autonoma.
2. Caratterizzazione dell'Equilibrio di Nash: Gli autori definiscono l'equilibrio di Nash attraverso la minimizzazione di funzionali di costo quadratici $J_i$ per i follower. Viene dimostrata l'equivalenza tra l'equilibrio di Nash e il quasi-equilibrio di Nash (basato sulle condizioni del primo ordine) attraverso la dimostrazione della convessità dei funzionali per parametri di penalità $\mu_i$ sufficientemente grandi.
3. Stime di Carleman: Il cuore tecnico consiste nello sviluppo di una stima di Carleman per sistemi accoppiati e non autonomi. Gli autori utilizzano una stima di Carleman precedentemente ottenuta per equazioni degenerate per derivare una disuguaglianza di osservabilità per il sistema di ottimalità linearizzato.
4. Teorema dell'Inversa di Liusternik: Per passare dal sistema lineare a quello semilineare (non lineare), viene applicato il teorema dell'inversa di Liusternik. Questo richiede la dimostrazione che l'operatore linearizzato è "onto" (suriettivo) e che il sistema soddisfa le stime di regolarità necessarie negli spazi di Hilbert opportunamente pesati.

3. Contributi Chiave

• Estensione della strategia Stackelberg-Nash: Il lavoro rappresenta un avanzamento significativo poiché, a differenza della letteratura esistente, estende la strategia gerarchica a sistemi accoppiati e degeneri in domini in movimento.
• Sviluppo di nuove stime di Carleman: L'adattamento delle stime di Carleman per gestire contemporaneamente la degenerazione del coefficiente di diffusione e la natura non autonoma derivante dal dominio mobile.
• Analisi della convessità: La prova rigorosa che, per valori elevati dei pesi di controllo, il problema di controllo dei follower è ben posto e convesso.

4. Risultati Principali

• Teorema 1 (Controllabilità Locale): Viene dimostrata l'esistenza di un controllo del leader $\hat{h}$ e di un quasi-equilibrio di Nash $(\hat{v}_1, \hat{v}_2)$ tale che il sistema sia controllabile verso lo stato nullo al tempo $T$, a condizione che i dati iniziali siano sufficientemente piccoli (controllabilità locale).
• Teorema 2 (Equilibrio di Nash): Viene stabilito che per $\mu_i$ sufficientemente grandi, il quasi-equilibrio di Nash coincide con l'equilibrio di Nash globale grazie alla convessità dei funzionali.
• Controllabilità del sistema linearizzato: Viene provata la controllabilità nulla globale del sistema di ottimalità linearizzato, che funge da condizione necessaria per l'applicazione del teorema di Liusternik.

5. Significenza

Questo studio fornisce un quadro teorico robusto per la gestione di sistemi complessi in cui le dinamiche sono influenzate da confini mobili (come in problemi di fluidodinamica o termodinamica con pareti in movimento) e dove la diffusione del calore o della massa può ridursi drasticamente vicino ai bordi. La natura gerarchica del controllo rende il modello applicabile a scenari di economia matematica o ingegneria dei sistemi, dove diversi agenti (leader e follower) agiscono con obiettivi divergenti in un ambiente dinamico e degradato.