Nash-Stackelberg controllability for coupled systems of degenerate equations in non-cylindrical domains

Resumo Técnico: Controlabilidade de Nash-Stackelberg para Sistemas Acoplados de Equações Degeneradas em Domínios Não-Cilíndricos

1. O Problema

O artigo investiga a controlabilidade nula hierárquica de um sistema acoplado de equações parabólicas semilineares degeneradas. O problema é formulado em domínios não-cilíndricos, o que significa que o domínio espacial $\Omega_t$ varia no tempo (domínios móveis).

O sistema é caracterizado por uma estrutura de controle Stackelberg-Nash:

• Líder: Possui um controle $h$ que visa a controlabilidade nula do sistema completo.
• Seguidores: Existem dois seguidores que buscam o equilíbrio de Nash, minimizando seus próprios funcionais de custo $J_i$, que dependem de seus controles $v_i$ e do controle do líder $h$.
• Degenerescência: O coeficiente de difusão $a(x)$ anula-se na fronteira ($x=0$), classificando o sistema como fracamente degenerado.

2. Metodologia

A abordagem matemática é complexa e envolve várias etapas fundamentais:

• Transformação de Domínio: Para lidar com o domínio móvel, os autores utilizam um difeomorfismo $\tau$ para transformar o domínio não-cilíndrico $\hat{Q}$ em um domínio cilíndrico fixo $Q$. Isso resulta em um sistema com coeficientes dependentes do tempo.
• Caracterização do Equilíbrio: Utiliza-se o cálculo de variações para definir o equilíbrio de Nash (quasi-equilíbrio). Os autores provam que, para parâmetros de penalidade $\mu_i$ suficientemente grandes, os funcionais de custo são convexos, garantindo a equivalência entre o quasi-equilíbrio e o equilíbrio de Nash.
• Estimativas de Carleman: Esta é a parte central do trabalho. Os autores adaptam e utilizam estimativas de Carleman para equações degeneradas e não-autônomas. Essas estimativas são cruciais para estabelecer a observabilidade do sistema linearizado.
• Teorema do Inverso de Liusternik: Para passar do sistema linearizado para o sistema semilinear original, os autores aplicam o Teorema do Inverso de Liusternik, o que permite garantir a controlabilidade nula local.

3. Principais Contribuições

• Extensão para Sistemas Acoplados: Diferente de estudos anteriores que focavam em uma única equação degenerada, este trabalho aborda o acoplamento de duas equações.
• Domínios Móveis: O trabalho introduz a complexidade de domínios que mudam no tempo, algo que não havia sido explorado anteriormente no contexto de estratégias Stackelberg-Nash para sistemas degenerados.
• Desenvolvimento de Novas Estimativas: A adaptação de estimativas de Carleman para o sistema de otimalidade linearizado (que envolve tanto as variáveis de estado quanto as variáveis adjuntas) em domínios não-cilíndricos representa um avanço técnico significativo.

4. Resultados Principais

• Teorema 1 (Controlabilidade Local): Demonstra que, para dados iniciais suficientemente pequenos (em uma norma de espaço pesado $H^1_a$), existe um controle do líder $h$ e um equilíbrio de Nash associado $(\hat{v}_1, \hat{v}_2)$ que levam o sistema ao estado zero no tempo $T$.
• Teorema 2 (Convexidade): Estabelece as condições sob as quais o equilíbrio de Nash é garantido através da convexidade dos funcionais de custo.
• Teorema 4 (Controlabilidade Global do Sistema Linearizado): Prova que o sistema linearizado é globalmente controlável, servindo como base para a aplicação do teorema de Liusternik.

5. Significância

Este trabalho é de grande importância para a teoria de controle de sistemas parciais (PDEs), pois une três áreas de alta complexidade: controle hierárquico (teoria de jogos), equações degeneradas (onde a difusão falha na fronteira) e domínios não-cilíndricos (problemas de fronteira móvel). Os resultados fornecem um arcabouço matemático para entender como um agente dominante pode controlar um sistema onde outros agentes agem de forma independente e estratégica em ambientes dinâmicos.