Brauer group of moduli stacks of parabolic principal bundles over a curve

1. Problema e Contesto

Il paper si concentra sullo studio dei gruppi di Brauer (sia algebrici che analitici) associati ai moduli stack di fasci principali parabolici su una curva algebrica complessa liscia e proiettiva $X$ di genere $g \ge 2$.

Il contesto matematico è il seguente:

• Il gruppo di Brauer coomologico $Br(Y)$ di una varietà $Y$ è definito come la parte di torsione di $H^2_{\text{ét}}(Y, \mathbb{G}_m)$. È un invariante birazionale stabile cruciale per lo studio della razionalità delle varietà e per la teoria dell'ostacolo di Brauer-Manin.
• Esistono risultati precedenti sul calcolo del gruppo di Brauer per spazi di moduli di fasci vettoriali parabolici stabili con gruppi strutturali $SL(r, \mathbb{C})$, $PGL(r, \mathbb{C})$ e $Sp(r, \mathbb{C})$.
• L'obiettivo specifico degli autori è generalizzare un risultato precedente (di [BCD1]) per il caso dei fasci principali $PGL(r, \mathbb{C})$ con sistemi di pesi generici (non solo sistemi a bandiera completa) e studiare il caso generale per qualsiasi gruppo algelico lineare complesso semplice e semplicemente connesso $G$.

2. Metodologia

Gli autori adottano un approccio che combina la geometria algebrica dei moduli, la teoria delle coperture spettrali e la coomologia singolare degli stack.

A. Fasci Vettoriali Parabolici e Fasci Principali

• Vengono definiti i fasci vettoriali parabolici con sistemi di pesi $\alpha$ e molteplicità $m$ su un insieme di punti parabolici $S \subset X$.
• Si introduce la nozione di stabilità parabolica. Un sistema di pesi è detto generico se la stabilità semistabilità e la stabilità coincidono.
• Il moduli stack dei fasci principali $PGL(r, \mathbb{C})$ parabolici stabili, denotato $N^{m,\alpha}_X(r, \delta)$, è legato allo spazio di moduli dei fasci vettoriali stabili $M^{m,\alpha}_X(r, \xi)$ tramite un quoziente per l'azione del gruppo $\Gamma$ dei fasci di linea $r$-torsionali su $X$.

B. Analisi dei Punti Fissi e Coperture Spettrali (Teorema 1.1)

Per stabilire il risultato principale sui fasci $PGL(r, \mathbb{C})$, gli autori analizzano la codimensione del luogo dei punti fissi sotto l'azione di $\Gamma$.

• Strumento chiave: L'uso di curve spettrali (spectral curves). Per un fascio di linea $r$-torsionale non banale $L$, si costruisce una copertura galoisiana etale $\gamma: Y \to X$ di grado $d$.
• Proposizione 3.3: Viene costruita una morfismo suriettivo da una somma di spazi di moduli di fasci vettoriali su $Y$ (di rango $r/d$) verso il luogo dei punti fissi $(M^{m,\alpha}_X(r, \xi))_L$.
• Stima della codimensione: Dimostrano che per un sistema di pesi generico, la codimensione del luogo dei punti fissi nello spazio di moduli dei fasci vettoriali è almeno 3 (Corollario 3.5). Questo estende un risultato precedente che valeva solo per sistemi di pesi a bandiera completa.

C. Teorema di Uniformizzazione e Cohomologia Singolare (Teorema 1.2)

Per il caso dei gruppi semplicemente connessi $G$, la metodologia cambia radicalmente:

• Si utilizza il Teorema di Uniformizzazione (di Laszlo-Sorger, [LS]) che esprime lo stack di moduli $M^{\text{par}}_G$ come uno stack quoziente $[L_X(G) \setminus Q^{\text{par}}_G]$, dove $Q^{\text{par}}_G$ è una varietà ind-proiettiva (limite diretto di varietà proiettive) e $L_X(G)$ è un gruppo ind-algebrico.
• Si calcola la coomologia singolare $H^*_B(M^{\text{par}}_G, \mathbb{Z})$ utilizzando il teorema di Leray-Hirsch e la struttura prodotto della varietà $Q^{\text{par}}_G$.
• Si applica una proposizione di [BHol] che collega il gruppo di Brauer analitico e algebrico alla torsione di $H^3_B(Y, \mathbb{Z})$ e a $H^2(Y, \mathcal{O}^*_{an})$, sotto certe condizioni di esistenza di strutture algebriche sui fasci di linea.

3. Risultati Chiave

Risultato 1: Fasci $PGL(r, \mathbb{C})$ (Teorema 1.1 / Teorema 4.2)

Sia $X$ una curva di genere $g \ge 2$ e $\alpha$ un sistema di pesi generico.

• Il gruppo di Brauer dello stack di moduli dei fasci principali parabolici stabili $PGL(r, \mathbb{C})$, $Br(N^{m,\alpha}_X(r, \delta))$, è isomorfo al gruppo di Brauer della parte liscia dello spazio di moduli coarso corrispondente, $Br((N^{m,\alpha}_X(r, \delta))^{sm})$.
• Significato: Questo risultato generalizza il lavoro precedente rimuovendo la restrizione sui pesi (che dovevano essere a bandiera completa). La dimostrazione si basa sul fatto che il complemento della parte liscia ha codimensione $\ge 3$, il che implica che il gruppo di Brauer non cambia quando si rimuove un sottoinsieme di codimensione alta (teorema di purezza per il gruppo di Brauer).

Risultato 2: Fasci per Gruppi Semplificati e Simply Connected (Teorema 1.2 / Proposizione 5.7 e Teorema 5.8)

Sia $G$ un gruppo algebrico lineare complesso semplice e semplicemente connesso.

• Il gruppo di Brauer analitico dello stack di moduli dei fasci principali quasi-parabolici $M^{\text{par}}_G(p, P)$ è nullo.
• Il gruppo di Brauer algebrico dello stesso stack è nullo.
• In termini di coomologia: $H^2(M^{\text{par}}_G, (\mathcal{O}^{\text{an}}_{M^{\text{par}}_G})^*)_{\text{torsion}} = 0$ e $Br(M^{\text{par}}_G) = 0$.
• Meccanismo: La nullità deriva dal fatto che $H^3_B(Q^{\text{par}}_G, \mathbb{Z}) = 0$ (poiché $Q^{\text{par}}_G$ è un limite diretto di varietà con coomologia nulla in grado dispari) e che le condizioni di Proposizione 5.5 sono soddisfatte, permettendo di trasferire la nullità dal gruppo analitico a quello algebrico.

4. Contributi e Significato

1. Generalizzazione dei pesi: Il lavoro risolve un problema aperto estendendo la descrizione del gruppo di Brauer per i fasci $PGL(r, \mathbb{C})$ a sistemi di pesi generici, non limitandosi ai casi speciali a bandiera completa. Questo è ottenuto attraverso una stima precisa della codimensione dei punti fissi usando curve spettrali.
2. Vanishing per gruppi semplicemente connessi: Fornisce una prova definitiva che per gruppi strutturali semplici e semplicemente connessi (come $SL(n)$, $Sp(n)$, ecc.), lo stack di moduli dei fasci parabolici ha un gruppo di Brauer banale. Questo è un risultato forte che semplifica la comprensione degli invarianti birazionali di questi spazi di moduli.
3. Metodologia Unificata: Il paper dimostra l'efficacia di combinare tecniche di teoria dei moduli classica (azioni di gruppi, curve spettrali) con la teoria degli stack e la coomologia singolare di spazi ind-proiettivi (teorema di uniformizzazione).
4. Implicazioni per la Razionalità: Poiché il gruppo di Brauer è un invariante birazionale, la sua struttura (o la sua assenza) fornisce informazioni cruciali sulla razionalità degli spazi di moduli. La dimostrazione che il gruppo di Brauer dello stack coincide con quello della parte liscia dello spazio coarso è un passo fondamentale per calcolare questi invarianti per varietà singolari o stack.

In sintesi, il paper stabilisce una corrispondenza precisa tra gli invarianti di Brauer degli stack di moduli parabolici e le loro controparti geometriche (spazi coarsi lisci) per il caso $PGL$, e dimostra la banalità di tali invarianti per la classe più ampia dei gruppi semplicemente connessi, chiudendo importanti questioni aperte nella teoria dei moduli parabolici.