Brauer group of moduli stacks of parabolic principal bundles over a curve

Titre : Groupe de Brauer des empilements de modules de fibrés principaux paraboliques sur une courbe

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans l'étude des invariants cohomologiques des espaces de modules en géométrie algébrique, plus spécifiquement le groupe de Brauer. Pour une variété quasi-projective $Y$ sur $\mathbb{C}$, le groupe de Brauer cohomologique, noté $Br(Y)$, est défini comme la partie de torsion de $H^2_{\text{ét}}(Y, \mathbb{G}_m)$.

Les auteurs s'intéressent à deux objets principaux liés aux fibrés vectoriels et principaux sur une courbe projective lisse $X$ de genre $g \geq 2$ :

1. L'empilement de modules (stack) des fibrés principaux paraboliques stables de groupe structural $PGL(r, \mathbb{C})$.
2. L'empilement de modules des fibrés principaux quasi-paraboliques pour un groupe algébrique linéaire complexe $G$ simple et simplement connexe.

L'objectif est de comparer le groupe de Brauer de ces empilements (stacks) avec celui de leur espace de modules grossier (coarse moduli space) et d'étudier leur trivialité dans le cas des groupes simplement connexes.

2. Méthodologie et Outils Techniques

Les auteurs utilisent une combinaison de techniques de géométrie algébrique, de théorie des représentations et de topologie algébrique :

• Théorie des fibrés paraboliques : Utilisation des définitions de Mehta et Seshadri pour les fibrés vectoriels paraboliques (filtrations pondérées sur les fibres aux points de parabolie) et la notion de stabilité parabolique.
• Géométrie des courbes spectrales : Pour l'étude des fibrés $PGL(r, \mathbb{C})$, les auteurs exploitent l'action du groupe $\Gamma$ des fibrés en droites $r$-torsion sur l'espace de modules des fibrés vectoriels stables. Ils utilisent des revêtements galoisiens étalés (courbes spectrales) associés aux éléments de $\Gamma$ pour analyser les points fixes de cette action.
• Théorème d'uniformisation (Laszlo-Sorger) : Pour le cas des groupes simplement connexes $G$, ils utilisent la description de l'empilement de modules $M^{\text{par}}_G$ comme un quotient stack $[L_X(G) \backslash Q^{\text{par}}_G]$, où $L_X(G)$ est un groupe ind-algébrique agissant sur une variété ind-projetive $Q^{\text{par}}_G$.
• Cohomologie de Betti et suites spectrales : L'analyse du groupe de Brauer analytique repose sur la comparaison avec la cohomologie singulière ($H^*_B$) via la suite spectrale de Leray et le théorème de Leray-Hirsch.
• Estimations de codimension : Une partie cruciale de la preuve pour $PGL(r, \mathbb{C})$ consiste à montrer que le lieu des points fixes de l'action de $\Gamma$ sur l'espace de modules des fibrés vectoriels a une codimension suffisamment élevée (au moins 3).

3. Résultats Principaux

A. Cas du groupe $PGL(r, \mathbb{C})$

Le premier résultat majeur généralise un théorème précédent (BCD1) au cas de systèmes de poids génériques (et non plus uniquement pour les drapeaux complets).

• Théorème 1.1 (Théorème 4.2) : Soit $\alpha$ un système de poids générique. Soit $N^{m,\alpha}_X(r, \delta)$ l'espace de modules grossier des fibrés principaux paraboliques stables de type topologique $\delta$, et $N^{m,\alpha}_X(r, \delta)^{\text{sm}}$ son lieu lisse. Soit $\mathcal{N}^{m,\alpha}_X(r, \delta)$ l'empilement de modules correspondant.
  Alors, il existe un isomorphisme :
  $$Br(\mathcal{N}^{m,\alpha}_X(r, \delta)) \simeq Br(N^{m,\alpha}_X(r, \delta)^{\text{sm}})$$
  Preuve clé : Les auteurs montrent que le complémentaire du lieu lisse dans l'espace de modules grossier, ainsi que le complémentaire de l'ouvert correspondant dans l'empilement, sont de codimension $\geq 3$. Pour les empilements de Deligne-Mumford, le groupe de Brauer est invarié par l'ajout de sous-ensembles de codimension $\geq 3$.

B. Cas des groupes simples et simplement connexes ($G$)

Le second résultat concerne les fibrés quasi-paraboliques pour un groupe $G$ simple et simplement connexe (ex: $SL(r, \mathbb{C})$).

• Théorème 1.2 (Proposition 5.7 et Théorème 5.8) : Le groupe de Brauer analytique et le groupe de Brauer algébrique de l'empilement de modules $M^{\text{par}}_G(p, P)$ des fibrés principaux quasi-paraboliques de type $P$ sont triviaux (nuls).
  $$H^2(M^{\text{par}}_G, (\mathcal{O}^{\text{an}}_{M^{\text{par}}_G})^*)_{\text{torsion}} = 0 \quad \text{et} \quad Br(M^{\text{par}}_G) = 0$$
  Preuve clé :
  1. Utilisation du théorème d'uniformisation pour exprimer $M^{\text{par}}_G$ comme un quotient.
  2. Démonstration que l'espace de base de la fibration principale ($Q^{\text{par}}_G$) a un groupe de Brauer nul (via l'annulation de $H^3_B$ et l'isomorphisme entre classes de Chern et cohomologie).
  3. Utilisation de la suite spectrale de Leray pour le morphisme de quotient $Q^{\text{par}}_G \to M^{\text{par}}_G$ pour montrer que le groupe de Brauer de l'empilement s'injecte dans celui de l'espace total, qui est nul.
  4. Vérification des conditions du théorème de comparaison (Proposition 5.5) pour passer du cas analytique au cas algébrique.

4. Contributions et Signification

• Généralisation des résultats existants : L'article étend les résultats connus sur le groupe de Brauer des espaces de modules de fibrés paraboliques au-delà des systèmes de poids spécifiques (drapeaux complets) vers des systèmes de poids génériques pour le groupe $PGL(r, \mathbb{C})$.
• Unification des cas $PGL$ et $SL$ (et au-delà) : Il établit une distinction claire entre le cas du groupe adjoint ($PGL$), où le groupe de Brauer est non trivial et lié à la géométrie de l'espace de modules grossier, et le cas des groupes simplement connexes, où le groupe de Brauer s'annule.
• Méthodologie robuste : La preuve de l'annulation du groupe de Brauer pour les groupes simplement connexes utilise de manière élégante la structure de l'ind-variété de Grassmannienne et les propriétés de cohomologie des variétés de drapeaux, offrant une approche puissante pour l'étude des invariants des empilements de modules.
• Implications pour la rationalité : Puisque le groupe de Brauer est un invariant birationnel stable, ces résultats fournissent des informations cruciales pour l'étude de la rationalité des espaces de modules de fibrés paraboliques, un problème central en géométrie algébrique.

En résumé, cet article apporte une compréhension complète de la structure du groupe de Brauer pour les empilements de modules de fibrés paraboliques, reliant la géométrie fine des points fixes d'actions de groupes finis à la topologie globale des espaces de modules via des outils de cohomologie avancés.