Ground State Solutions For Local-Nonlocal Shrodinger Equations In the Presence Of Two Critical Exponents

Titolo: Soluzioni di stato fondamentale per equazioni di Schrödinger locali-nonlocali in presenza di due esponenti critici

1. Il Problema

Il lavoro si concentra sull'analisi dell'esistenza di soluzioni di stato fondamentale (ground state solutions) per un'equazione di Schrödinger che combina operatori locali e non locali, caratterizzata dalla presenza simultanea di due esponenti critici di Sobolev. L'equazione studiata è:

$$-\lambda \Delta u + \mu (-\Delta)^s u = f(u), \quad x \in \mathbb{R}^N$$

dove:

• $N \geq 3$ e $0 < s < 1$.
• $\Delta$ è il Laplaciano classico (operatore locale).
• $(-\Delta)^s$ è il Laplaciano frazionario (operatore non locale), definito tramite la trasformata di Fourier.
• $\lambda, \mu > 0$.
• La non linearità $f(u)$ contiene termini critici associati a entrambi gli operatori. Nello specifico, l'articolo analizza il caso in cui la non linearità è data da:
  $$f(u) = |u|^{2^*_s - 2}u + \beta |u|^{p-2}u + |u|^{2^* - 2}u$$
  con $p \in (2^*_s, 2^*)$, dove:
  • $2^* = \frac{2N}{N-2}$ è l'esponente critico classico (Sobolev).
  • $2^*_s = \frac{2N}{N-2s}$ è l'esponente critico frazionario.

La sfida principale: Mentre l'esistenza di soluzioni è ben compresa nei casi puramente locali ($\mu=0$) o puramente non locali ($\lambda=0$) anche in presenza di esponenti critici, la situazione mista con due esponenti critici simultanei rappresenta un caso "senza precedenti" nelle equazioni alle derivate parziali (PDE). I metodi standard sviluppati per i casi singoli non sono direttamente estendibili a questo scenario misto a causa della complessità nella gestione della compattezza e della perdita di invarianza traslazionale dovuta alla combinazione di operatori di ordini diversi.

2. Metodologia

Gli autori adottano un approccio variazionale basato sulla teoria dei punti critici, integrato da strumenti analitici avanzati per superare le difficoltà legate alla mancanza di compattezza nello spazio di Sobolev su $\mathbb{R}^N$.

• Setting Funzionale: Viene introdotto uno spazio di Sobolev misto $X$, definito come il completamento di $C^\infty_0(\mathbb{R}^N)$ rispetto alla norma che combina il gradiente classico e la seminorma frazionaria:
  $$\|u\|_X^2 = \int_{\mathbb{R}^N} |\nabla u|^2 dx + \int_{\mathbb{R}^N} \int_{\mathbb{R}^N} \frac{|u(x)-u(y)|^2}{|x-y|^{N+2s}} dx dy$$
  Viene dimostrata l'immersione continua di $X$ negli spazi $L^t(\mathbb{R}^N)$ per $t \in [2^*_s, 2^*]$.

• Geometria Mountain Pass e Varietà di Nehari:

  • Si definisce il funzionale energetico associato all'equazione.
  • Si dimostra che il funzionale possiede la struttura "Mountain Pass".
  • Si utilizza la varietà di Nehari per ridurre il problema alla ricerca di minimi su un sottoinsieme opportuno, garantendo l'esistenza di una successione di Palais-Smale ($(PS)_c$).

• Generalizzazione del Teorema di Traslazione di Lieb:
  Questo è il cuore metodologico del lavoro. Poiché la presenza di due esponenti critici impedisce l'applicazione diretta dei lemmi di compattezza standard, gli autori generalizzano il celebre Teorema di Traslazione di Lieb.

  • Dimostrano che, per una successione limitata $\{u_n\}$ in $X$ che non converge a zero in $L^{2^*_s}$ e in $L^{2^*}$, esiste una sequenza di traslazioni $\{x_n\}$ tale che la successione traslata converga fortemente a una funzione non nulla in uno spazio locale.
  • Questa generalizzazione permette di recuperare la compattezza necessaria per dimostrare l'esistenza della soluzione, aggirando il problema della perdita di massa all'infinito o al concentrarsi in punti.

• Stime di Regolarità ($L^\infty$):
  Per dimostrare la regolarità delle soluzioni, viene utilizzata una tecnica iterativa (metodo di Moser) adattata agli operatori misti, combinando disuguaglianze di Hölder, Sobolev e stime locali per ottenere limiti superiori uniformi.

3. Risultati Chiave

1. Teorema 1.2 (Esistenza di Soluzioni):
   È stato dimostrato che esiste una soglia $\bar{\beta} \in (0, +\infty)$ tale che per ogni $\beta > \bar{\beta}$, l'equazione mista ammette una soluzione di stato fondamentale radiale.

   • Il parametro $\beta$ (coefficiente del termine sub-critico intermedio) gioca un ruolo cruciale nel "bilanciare" gli effetti dei due termini critici, permettendo di controllare il livello energetico della soluzione al di sotto delle soglie di non compattezza.

2. Positività e Radialità:

   • È stato dimostrato che la soluzione di stato fondamentale può essere scelta non negativa.
   • Utilizzando le disuguaglianze di riordinamento (rearrangement inequalities), si è provato l'esistenza di una soluzione che è anche radialmente simmetrica e decrescente.

3. Teorema 1.3 (Regolarità $L^\infty$):
   È stata stabilita una stima $L^\infty$ per le soluzioni non negative dell'equazione generale $-\Delta u + (-\Delta)^s u = f(u)$, sotto l'ipotesi che la non linearità soddisfi una condizione di crescita controllata dai due esponenti critici. Questo garantisce che le soluzioni deboli siano in realtà soluzioni classiche (limitate).

4. Contributi Principali

• Risoluzione di un problema aperto: Il lavoro risolve completamente il caso critico per operatori misti locali-nonlocali con due esponenti critici, una situazione che i metodi precedenti non riuscivano a trattare.
• Nuovo Strumento Analitico: La generalizzazione del teorema di traslazione di Lieb per spazi di Sobolev misti è un contributo teorico significativo che apre la strada allo studio di altre classi di problemi con operatori misti e criticità multiple.
• Analisi della Regolarità: La dimostrazione della limitatezza $L^\infty$ in questo contesto misto estende i risultati noti per i casi puri (solo locale o solo frazionario).

5. Significato e Impatto

Questo studio è di fondamentale importanza per la teoria delle PDE non lineari e per le applicazioni fisiche.

• Fisica e Biologia: L'equazione modellizza fenomeni di dinamica di popolazione con diffusione sia classica che a "salto lungo" (long-jump), o la diffusione di malattie pandemiche con restrizioni regionali e globali. La comprensione delle soluzioni di stato fondamentale è cruciale per prevedere il comportamento asintotico di tali sistemi.
• Sviluppo Matematico: Il lavoro fornisce un nuovo paradigma per trattare la mancanza di compattezza in problemi variazionali con operatori di ordine diverso. La metodologia sviluppata, in particolare la generalizzazione del lemma di Lieb, è destinata a diventare uno strumento standard per futuri studi su equazioni con operatori misti e criticità multiple.

In sintesi, il paper supera un ostacolo tecnico significativo nella teoria delle equazioni di Schrödinger, fornendo non solo l'esistenza di soluzioni per un modello fisico rilevante, ma anche nuovi strumenti analitici per la comunità matematica.