Ground State Solutions For Local-Nonlocal Shrodinger Equations In the Presence Of Two Critical Exponents

Titre de l'article

Solutions d'état fondamental pour les équations de Schrödinger locales-nonlocales en présence de deux exposants critiques

1. Le Problème Étudié

L'article s'intéresse à l'existence de solutions d'état fondamental (ground state solutions) pour une équation de Schrödinger non linéaire combinant des opérateurs locaux et non locaux, soumise à une non-linéarité critique double. L'équation étudiée est :

$$-\lambda\Delta u + \mu(-\Delta)^s u = f(u), \quad x \in \mathbb{R}^N$$

où $N \ge 3$, $0 < s < 1$, $\lambda, \mu > 0$, et $(-\Delta)^s$ désigne le laplacien fractionnaire.

La difficulté majeure réside dans la nature de la non-linéarité $f(u)$, qui combine deux termes critiques :

1. Un terme critique fractionnaire associé à l'opérateur non local : $|u|^{2^*_s - 2}u$, où $2^*_s = \frac{2N}{N-2s}$.
2. Un terme critique classique (local) : $|u|^{2^* - 2}u$, où $2^* = \frac{2N}{N-2}$.

Le cas spécifique traité est :
$$-\Delta u + (-\Delta)^s u = |u|^{2^*_s - 2}u + \beta|u|^{p-2}u + |u|^{2^* - 2}u$$
avec $p \in (2^*_s, 2^*)$ et $\beta > 0$.

Le défi : Les méthodes classiques pour traiter les exposants critiques (soit purement locaux, soit purement non locaux) échouent dans ce cadre mixte. La présence simultanée de deux exposants critiques (le plus petit $2^*_s$ et le plus grand $2^*$) crée une situation inédite en équations aux dérivées partielles (EDP) où la compacité des plongements de Sobolev est perdue de manière complexe.

2. Méthodologie

Les auteurs développent une approche variationnelle sophistiquée reposant sur plusieurs piliers techniques :

• Espace de travail : Utilisation d'un espace de Sobolev mixte $X$, défini comme l'achèvement de $C_0^\infty(\mathbb{R}^N)$ par rapport à la norme combinant la norme de Dirichlet classique et la norme de Gagliardo fractionnaire :
  $$\|u\|_X^2 = \int_{\mathbb{R}^N} |\nabla u|^2 dx + \iint_{\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N} \frac{|u(x)-u(y)|^2}{|x-y|^{N+2s}} dx dy$$
• Géométrie du "Mont-Passe" (Mountain Pass) et Variété de Nehari : Définition d'un fonctionnel d'énergie $I(u)$ et utilisation de la variété de Nehari $\mathcal{N}$ pour restreindre la recherche de solutions critiques. Les auteurs établissent la géométrie du mont-passe et prouvent l'existence de suites de Palais-Smale $(PS)_c$.
• Généralisation du Théorème de Translation de Lieb : C'est le cœur méthodologique de l'article.
  • Les auteurs rappellent le théorème classique de Lieb (pour les opérateurs locaux) et le généralisent pour le cas mixte.
  • Ils démontrent un Théorème 3.2 : Si une suite bornée $\{u_n\}$ dans $X$ ne s'annule pas simultanément pour les normes $L^{2^*_s}$ et $L^{2^*}$, alors il existe une suite de translations $\{x_n\}$ telle que la suite translatée converge fortement vers une fonction non nulle dans $L^2_{loc}$.
  • Cette généralisation est cruciale pour surmonter le manque de compacité dû aux deux exposants critiques simultanés.
• Estimations $L^\infty$ (Régularité) : Utilisation d'une méthode de bootstrap itérative (méthode de Moser adaptée) combinée à des inégalités de type Brezis-Kato et des propriétés de l'espace de Morrey pour établir la bornitude des solutions.

3. Contributions Clés et Résultats Principaux

Théorème 1.2 (Existence de solutions d'état fondamental) :
Pour $N \ge 3$, $0 < s < 1$ et $p \in (2^*_s, 2^*)$, il existe un seuil $\bar{\beta} \in (0, +\infty)$ tel que pour tout $\beta > \bar{\beta}$, l'équation (D) admet une solution d'état fondamental radiale et positive.

• Point crucial : La preuve repose sur le fait que pour $\beta$ suffisamment grand, le niveau d'énergie critique $c$ reste strictement inférieur au seuil de compacité $c^*$ (défini par les constantes de Sobolev $S_s$ et $S_1$), permettant d'éviter la perte de masse à l'infini.

Théorème 1.3 (Régularité et bornitude) :
Sous une condition de croissance sur la non-linéarité $f$ (condition F1), toute solution non négative de l'équation appartient à $L^\infty(\mathbb{R}^N)$.

• Cela garantit que les solutions trouvées sont non seulement faibles, mais aussi bornées et régulières.

Propriétés des solutions :

• Positivité : Les solutions d'état fondamental sont strictement positives.
• Symétrie radiale : Grâce aux inégalités de réarrangement de Schwarz, les auteurs montrent que l'état fondamental peut être choisi comme étant radialement décroissant.

4. Signification et Impact

Cet article apporte une avancée significative dans la théorie des EDP non locales et mixtes :

1. Résolution d'un cas ouvert : Il résout complètement le problème d'existence dans le cas critique double (local et non local), une situation qui résistait aux méthodes standard car les techniques développées pour un seul type d'exposant critique ne s'étendaient pas au cas mixte.
2. Outil nouveau : La généralisation du théorème de translation de Lieb (Théorème 3.2) constitue un outil technique puissant qui ouvre la voie à la résolution de problèmes similaires impliquant des opérateurs hybrides et des non-linéarités critiques multiples.
3. Applications potentielles : Les équations modélisant des phénomènes de diffusion avec des mécanismes à la fois classiques (mouvement brownien) et non locaux (sauts de Lévy), comme en dynamique des populations ou en épidémiologie, bénéficient désormais de résultats d'existence rigoureux pour des régimes critiques complexes.

En résumé, ce travail établit un cadre robuste pour l'analyse variationnelle des équations de Schrödinger mixtes en présence de singularités critiques multiples, comblant une lacune importante dans la littérature mathématique actuelle.