Explicit Formula Of The Critical Mass And The Energy Ground State Solution For The Mixed Local-Nonlocal Schrodinger Equation For The In-Between Critical Exponents Case

Sintesi Tecnica: Formula Esplicita della Massa Critica e Soluzione dello Stato Fondamentale per l'Equazione di Schrödinger Mista Locale-Non Locale

Autore: Yu Su (con Hichem Hajaiej)
Contesto: Equazioni alle derivate parziali non lineari, operatori misti, esponenti critici.

1. Il Problema

Il lavoro si concentra sullo studio dell'equazione di Schrödinger con un operatore misto locale-non locale in presenza di una non linearità di potenza $|u|^{p-2}u$. L'equazione in esame è:
$$i \frac{\partial \psi}{\partial t} + \Delta \psi - (-\Delta)^s \psi = |\psi|^{p-2}\psi, \quad (t, x) \in \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^N$$
dove $N \ge 3$, $s \in (0, 1)$ e $(-\Delta)^s$ è il laplaciano frazionario.

L'interesse principale è rivolto alle onde stazionarie $\psi(t, x) = e^{i\omega t}u(x)$, che portano allo studio dell'equazione ellittica stazionaria:
$$-\Delta u + (-\Delta)^s u + \omega u = |u|^{p-2}u$$
con una massa prescritta (norma $L^2$ fissata): $\int_{\mathbb{R}^N} |u|^2 dx = c$.

Il caso di studio specifico è quello degli "esponenti critici intermedi":
$$2 + \frac{4s}{N} < p < 2 + \frac{4}{N}$$
In questo intervallo, l'esponente $p$ si trova tra la massa critica dell'operatore frazionario puro ($2 + 4s/N$) e quella dell'operatore laplaciano classico ($2 + 4/N$). Questo crea un fenomeno nuovo dovuto al "conflitto" tra la diffusione locale e quella non locale:

• Per $c < c_0$ (massa critica), non esistono soluzioni dello stato fondamentale energetico.
• Per $c \ge c_0$, esistono soluzioni dello stato fondamentale energetico.

L'obiettivo principale del paper è fornire una formula esplicita per la massa critica $c_0$ e caratterizzare qualitativamente e quantitativamente la soluzione corrispondente $u_{c_0}$.

2. Metodologia

Gli autori adottano un approccio variazionale combinato con tecniche di disuguaglianze funzionali:

1. Formulazione Variazionale: Le soluzioni dello stato fondamentale sono definite come minimizzatori del funzionale energetico $J(u)$ vincolati alla sfera di massa $S_c$:
   $$J(u) = \frac{1}{2}\int |\nabla u|^2 + \frac{1}{2}\iint \frac{|u(x)-u(y)|^2}{|x-y|^{N+2s}} - \frac{1}{p}\int |u|^p$$
   $$m_c = \inf_{u \in S_c} J(u)$$

2. Disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg Mista: Il cuore della metodologia è lo sviluppo di una nuova disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg specifica per l'operatore misto $\Delta - (-\Delta)^s$. Gli autori dimostrano l'esistenza di un ottimizzatore $Q$ per questa disuguaglianza e ne derivano la costante migliore $C_{1,s,p}$.

3. Analisi del Funzionale di Weinstein: Per provare l'esistenza dell'ottimizzatore $Q$, viene utilizzato un funzionale di Weinstein (un rapporto tra norme di Sobolev e norme $L^p$). Si affronta la difficoltà tecnica della "vanishing" (svanimento) della successione minimizzante, tipica in questi problemi, attraverso un'idea innovativa che sfrutta la struttura della disuguaglianza mista.

4. Scaling e Identità di Pohozaev/Nehari: Una volta trovata l'ottimizzatore $Q$, gli autori utilizzano trasformazioni di scala e le identità di Nehari e Pohozaev per collegare esplicitamente la costante della disuguaglianza alla massa critica $c_0$ e dimostrare che $Q$ (opportunamente scalato) è la soluzione dello stato fondamentale.

3. Contributi Chiave

• Formula Esplicita della Massa Critica ($c_0$): Il contributo principale è la derivazione di una formula chiusa per $c_0$ in termini della costante migliore $C_{1,s,p}$ della disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg mista.
• Esistenza dell'Ottimizzatore: Dimostrazione rigorosa dell'esistenza di un ottimizzatore non negativo, radiale e simmetrico per la disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg nell'operatore misto.
• Caratterizzazione della Soluzione Critica: Si prova che la soluzione dello stato fondamentale con massa critica $c_0$ è esattamente l'ottimizzatore della disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg (a meno di scaling).
• Generalizzazione: I metodi sviluppati sono estesi al caso di operatori frazionari misti generici $(\Delta)^{s_1} + (\Delta)^{s_2}$, fornendo risultati analoghi per un intervallo di esponenti critici più ampio.

4. Risultati Principali

• Teorema 1.1 (Esistenza/Non Esistenza): Esiste una massa critica $c_0 > 0$ tale che:

  • Se $c < c_0$, non esistono soluzioni dello stato fondamentale.
  • Se $c \ge c_0$, esiste una soluzione dello stato fondamentale.

• Teorema 1.3 (Formula Esplicita): La massa critica $c_0$ è data da:
  $$c_0 = C_{1,s,p}^{-\frac{2}{p-2}} \left[ \frac{2N + 4 - pN}{2p(1-s)} \right]^{-\frac{2N+4-pN}{2(1-s)(p-2)}} \left[ \frac{pN - 2N - 4s}{2p(1-s)} \right]^{-\frac{pN-2N-4s}{2(1-s)(p-2)}}$$
  Inoltre, per la soluzione critica $u_{c_0}$, l'energia è nulla ($J(u_{c_0}) = 0$).

• Teorema 1.2 e 1.5 (Ottimizzazione): L'ottimizzatore $Q$ della disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg soddisfa l'equazione di Schrödinger stazionaria. Viceversa, la soluzione dello stato fondamentale con massa critica $c_0$ è un ottimizzatore della disuguaglianza.

• Teorema 1.4 (Condizioni Necessarie e Sufficenti): Vengono stabilite condizioni equivalenti per avere $m_c < 0$ o $m_c = 0$ basate su una disuguaglianza che coinvolge le norme di Sobolev omogenee e la norma $L^p$.

5. Significato e Impatto

Questo lavoro colma una lacuna significativa nella teoria delle equazioni di Schrödinger con operatori misti.

• Nuovo Fenomeno Fisico: Il caso "intermedio" degli esponenti critici rappresenta una situazione fisica unica dove la competizione tra diffusione locale e non locale genera una soglia di massa critica netta, diversa dai casi puri (solo locale o solo non locale).
• Strumento Analitico: La formula esplicita per $c_0$ fornisce uno strumento quantitativo fondamentale per prevedere la stabilità e la formazione di solitoni in modelli di dinamica delle popolazioni o diffusione epidemica che coinvolgono sia movimenti locali che salti a lunga distanza (modelli di diffusione anomala).
• Rigore Matematico: La dimostrazione dell'esistenza dell'ottimizzatore in questo contesto misto, superando le difficoltà di compattezza, rappresenta un avanzamento tecnico significativo nell'analisi non lineare.

In sintesi, il paper trasforma un problema di esistenza qualitativa in uno quantitativo, fornendo le formule esatte necessarie per calcolare le soglie critiche in sistemi fisici complessi governati da dinamiche di diffusione mista.