Explicit Formula Of The Critical Mass And The Energy Ground State Solution For The Mixed Local-Nonlocal Schrodinger Equation For The In-Between Critical Exponents Case

Título: Fórmula Explícita da Massa Crítica e da Solução de Estado Fundamental de Energia para a Equação de Schrödinger Mista Local-Não Local no Caso de Expoentes Críticos Intermediários

Autores: Yu Su e Hichem Hajaiej

1. Problema Investigado

O artigo estuda a equação de Schrödinger não linear com um operador misto (local e não local) na presença de uma não linearidade de potência $|u|^{p-2}u$. A equação considerada é:
$$-\Delta u + (-\Delta)^s u + \omega u = |u|^{p-2}u, \quad x \in \mathbb{R}^N$$
onde:

• $N \geq 3$ é a dimensão espacial.
• $s \in (0, 1)$ é o parâmetro da fração.
• $(-\Delta)^s$ é o Laplaciano fracionário.
• O expoente da não linearidade $p$ situa-se na faixa "intermediária" (in-between): $2 + \frac{4s}{N} < p < 2 + \frac{4}{N}$.

Esta faixa é crítica porque representa um conflito entre o comportamento do operador local ($\Delta$, crítico em $2+4/N$) e do operador não local ($(-\Delta)^s$, crítico em $2+4s/N$). O objetivo principal é encontrar ondas estacionárias com massa prescrita (soluções de estado fundamental de energia) e determinar a massa crítica $c_0$ que separa os regimes de existência e não existência de soluções.

2. Metodologia

Os autores utilizam uma abordagem variacional combinada com análise funcional e desigualdades de interpolação:

1. Formulação Variacional: O problema é formulado como a minimização do funcional de energia $J(u)$ na esfera de massa fixa $S_c = \{u \in H^1(\mathbb{R}^N) : \|u\|_{L^2}^2 = c\}$.
2. Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg Mista: O núcleo da prova é o estabelecimento de uma nova desigualdade de Gagliardo-Nirenberg adaptada ao operador misto. Os autores provam a existência de um otimizador (solução que atinge a constante ótima) para esta desigualdade.
3. Análise de Escala e Compactidade:
   • Utilizam técnicas de reescalonamento (scaling) para relacionar o funcional de energia com a massa.
   • Empregam o Lema de Vanishing de Lions e o Lema de Brézis-Lieb para lidar com a perda de compactidade em $\mathbb{R}^N$.
   • Demonstram que, para massas abaixo de um certo limiar, a energia mínima é zero (ou não é atingida), enquanto acima desse limiar, a energia é negativa e o mínimo é atingido.
4. Identidades de Pohozaev e Nehari: São usadas para caracterizar as soluções críticas e relacionar os termos de energia cinética local, não local e potencial.

3. Principais Contribuições e Resultados

A. Existência e Não Existência de Soluções (Teorema 1.1)

Os autores provam que existe uma massa crítica $c_0 > 0$ tal que:

• Se $c < c_0$: Não existe solução de estado fundamental de energia (o infimum do funcional de energia não é atingido ou é zero).
• Se $c \geq c_0$: Existe pelo menos uma solução de estado fundamental de energia.

B. Fórmula Explícita da Massa Crítica (Teorema 1.3)

Esta é a contribuição mais significativa do trabalho. Os autores não apenas provam a existência de $c_0$, mas fornecem uma fórmula explícita para ela, derivada da melhor constante $C_{1,s,p}$ da desigualdade de Gagliardo-Nirenberg mista:
$$c_0 := C_{1,s,p}^{-\frac{2}{p-2}} \left[ \frac{2N + 4 - pN}{2p(1-s)} \right]^{-\frac{2N+4-pN}{2(1-s)(p-2)}} \left[ \frac{pN - 2N - 4s}{2p(1-s)} \right]^{-\frac{pN-2N-4s}{2(1-s)(p-2)}}$$
Isso permite calcular o limiar exato de massa necessário para a existência de soluções, dependendo apenas de $N, s, p$ e da constante ótima da desigualdade.

C. Relação entre Otimizadores e Soluções (Teoremas 1.2, 1.3 e 1.5)

• Existência de Otimizador: É provado que existe um otimizador $Q$ (não negativo, radial e simétrico) para a desigualdade de Gagliardo-Nirenberg mista.
• Equivalência: O otimizador $Q$, após um escalonamento adequado, é exatamente a solução de estado fundamental de energia com massa crítica $c_0$.
• Caracterização: A solução de estado fundamental com massa crítica $c_0$ é, ela mesma, um otimizador da desigualdade de Gagliardo-Nirenberg.

D. Generalização para Laplacianos Fracionários Múltiplos (Teorema 1.6)

O método desenvolvido é generalizado para o caso de dois Laplacianos fracionários $( -\Delta)^{s_1} + (-\Delta)^{s_2}$, fornecendo fórmulas análogas para a massa crítica $\bar{c}_0$ e a constante ótima $C_{s_2, s_1, p}$ neste contexto mais amplo.

4. Significado e Impacto

• Resolução de um Fenômeno Novo: O artigo esclarece o comportamento de equações de Schrödinger com operadores mistos na faixa de expoentes onde a crítica local e a não local "conflitam". Antes deste trabalho, a natureza exata da massa crítica e a relação com os otimizers não eram totalmente compreendidas para este caso específico.
• Precisão Quantitativa: Ao fornecer uma fórmula explícita para $c_0$, o trabalho permite previsões quantitativas em modelos físicos (como dinâmica de populações com dispersão local e não local, descritos na introdução) sobre quando a formação de padrões (ondas estacionárias) é possível.
• Ferramentas Analíticas: A prova da existência de otimizers para desigualdades de Gagliardo-Nirenberg com três termos (envolvendo normas $L^2$, $D^{1,2}$ e $D^{s,2}$) apresenta desafios técnicos superados pelos autores, oferecendo novas técnicas para o estudo de operadores mistos.

Em resumo, o artigo estabelece uma teoria completa para o problema de massa prescrita no regime de expoentes críticos intermediários, conectando a análise variacional, desigualdades funcionais ótimas e a física das equações de Schrödinger mistas.