Badly approximable points on non-linear carpets

Questo articolo risolve una questione aperta del 2019 identificando la prima classe di attrattori non lineari non conformi per cui l'insieme dei punti mal approssimabili ha intersezione di dimensione piena, fornendo inoltre una formula per la loro dimensione di Hausdorff.

L'essenziale

Immagina di avere una mappa del mondo dei numeri. In questa mappa, ci sono punti "facili" da raggiungere e punti "difficili". I matematici chiamano i punti difficili da raggiungere punti mal approssimabili (badly approximable points). Sono come isole nascoste in un oceano di numeri razionali (frazioni semplici); più ci provi ad avvicinarci con una frazione, più sembra che l'oceano si allarghi e ti tenga a distanza.

Per molto tempo, i matematici hanno saputo che queste isole esistono e che, se guardi l'intero oceano, sono così tante da occupare una "dimensione" piena (anche se sono invisibili se guardi la loro "superficie" o area). Ma la domanda era: se prendi una forma strana e frattale (come un tappeto o una spugna) e la metti sopra questa mappa, troverai ancora queste isole difficili da raggiungere?

La risposta è sì, ma solo se la forma non è troppo "piatta" o allineata in modo strano.

Il Problema: I Tappeti Non Lineari

Fino a poco tempo fa, sapevamo che questo funzionava per forme geometriche semplici e rigide (come i "tappeti di Bedford-McMullen", che sono fatti di rettangoli perfetti e linee rette). Ma cosa succede se il tappeto è fatto da curve, spirali o forme che si deformano mentre si ripetono all'infinito? Questi sono i tappeti non lineari.

I matematici Das, Fishman, Simmons e Urbański si sono chiesti: "Funziona ancora la magia per questi tappeti curvi e strani?". Nessuno sapeva rispondere.

La Soluzione: Una Nuova Mappa

Gli autori di questo articolo (Anttila, Fraser e Koivusalo) hanno detto: "Sì, funziona!". Hanno dimostrato che anche su questi tappeti curvi e complessi, i punti "difficili da raggiungere" sono ovunque e occupano tutta la dimensione possibile della forma.

Ecco come hanno fatto, usando delle metafore semplici:

1. Il Tappeto come un Frattale che si Ripete

Immagina di avere un tappeto magico. Se lo guardi da lontano, vedi una forma. Se ti avvicini con un microscopio, vedi che è fatto di copie più piccole di se stesso, ma queste copie sono un po' schiacciate o allungate in modo diverso (non sono perfette come i rettangoli). Questo è un "tappeto non lineare".

2. Il Gioco della Caccia alle Isole (Il Gioco di Schmidt)

Per trovare queste isole difficili, i matematici usano un gioco teorico chiamato "Gioco di Schmidt". Immagina due giocatori:

• Il Cacciatore: Cerca di avvicinarsi a un punto usando frazioni semplici.
• Il Fuggitivo: Cerca di stare il più lontano possibile dalle frazioni semplici.

Se il Fuggitivo può sempre scappare, allora quel punto è "mal approssimabile". Il teorema dice che su certi tappeti, il Fuggitivo può sempre vincere e occupare tutto lo spazio disponibile.

3. Il Trucco: Guardare le "Ombre" (Dimensione Inferiore)

Il problema con i tappeti curvi è che sono disordinati. Per dimostrare che le isole ci sono, gli autori hanno usato un trucco intelligente: invece di guardare l'intero tappeto confuso, hanno guardato le sue "ombre" o "tangent" (parti molto piccole e appiattite del tappeto).

Hanno scoperto che, anche se il tappeto è curvo, se lo guardi da molto vicino in certe direzioni, sembra quasi un tappeto rigido e ordinato. Usando questa osservazione, hanno potuto applicare le regole del gioco del Fuggitivo e dimostrare che le isole difficili da raggiungere sono presenti ovunque.

Perché è Importante?

Prima di questo lavoro, pensavamo che le regole matematiche per queste forme "difficili" funzionassero solo per forme rigide e lineari. Questo articolo apre le porte a un mondo molto più vasto:

• Dimostra che la "difficoltà" di approssimare i numeri è una proprietà robusta, che resiste anche quando le forme si deformano.
• Fornisce una formula per calcolare la "dimensione" (la complessità) di questi tappeti strani, cosa che prima era molto difficile.
• Risolve una domanda rimasta aperta dal 2019.

In Sintesi

Immagina di avere un tappeto fatto di gomma che si allunga e si piega in modo caotico. Gli autori di questo articolo hanno dimostrato che, anche su questo tappeto caotico, ci sono punti così "ostinati" che nessun numero semplice (frazione) riesce ad avvicinarsi troppo. E questi punti non sono pochi: sono così tanti da riempire l'intera superficie del tappeto, rendendolo un luogo pieno di "resistenza matematica".

Hanno usato un approccio creativo, trasformando un problema geometrico complicato in un gioco di strategia, dimostrando che la bellezza e la struttura dei numeri si nascondono anche nelle forme più curve e imprevedibili.

Sommario tecnico

Ecco una sintesi tecnica dettagliata del paper "Badly Approximable Points on Non-Linear Carpets" di Roope Anttila, Jonathan M. Fraser e Henna Koivusalo, presentata in italiano.

1. Il Problema e il Contesto

Il lavoro si colloca nell'ambito della approssimazione diofantea e della geometria frattale.

• Punti mal approssimabili ($Bad_d$): Sono i punti $x \in \mathbb{R}^d$ per i quali il teorema di approssimazione di Dirichlet non può essere migliorato oltre una costante moltiplicativa. Formalmente, $x \in Bad_d$ se esiste $c > 0$ tale che per ogni $p \in \mathbb{Z}^d$ e $q \in \mathbb{N}$:
  $$\left\| x - \frac{p}{q} \right\| \geq \frac{c}{q^{1+1/d}}$$
  Sebbene l'insieme $Bad_d$ abbia misura di Lebesgue zero, ha dimensione di Hausdorff piena ($d$).
• La domanda centrale: Un problema fondamentale è determinare quando l'intersezione tra l'insieme dei punti mal approssimabili e un frattale specifico $X$ ha dimensione di Hausdorff piena, ovvero se vale l'uguaglianza:
  $$\dim_H(X \cap Bad_d) = \dim_H(X)$$
  Questo è stato dimostrato per molte classi di frattali (es. insiemi regolari di Ahlfors, tappeti auto-affini lineari come i tappeti di Bedford-McMullen), ma rimaneva aperta la questione per sistemi dinamici che sono sia non-conformi che non-lineari.
• La sfida: La domanda 5.2 di Das–Fishman–Simmons–Urbański (2019) chiedeva se il "gioco di Schmidt" potesse essere utilizzato per dimostrare la piena dimensione dell'intersezione per frattali definiti da sistemi dinamici non-conformi e non-lineari.

2. Metodologia

Gli autori sviluppano un approccio che combina la teoria dei frattali non-lineari con tecniche di teoria dei giochi (Schmidt's game) e dimensioni inferiori.

• Oggetto di studio: Introducono una nuova classe di frattali chiamati "tappeti non-lineari" (non-linear carpets). Questi sono attrattori di sistemi di funzioni iterate (IFS) planari della forma $S_{i,j} = (f_i, g_j)$, dove $f_i$ e $g_j$ sono IFS auto-conformi su $[0,1]$. A differenza dei tappeti di Bedford-McMullen (che sono lineari/affini), qui le mappe sono non-lineari ($C^{1+\alpha}$).
• Condizione di Separazione: Assumono che gli IFS lungo le coordinate soddisfino la Condizione di Apertura (OSC), definita come "coordinate OSC".
• Gioco di Schmidt e Diffusività Iperpiana: Utilizzano una variante del gioco di Schmidt. Un risultato chiave (Proposizione 1.1) afferma che se un insieme chiuso $X$ è "iperpiano-diffuso" (non concentrato troppo su iperpiani), allora:
  $$\dim_H(X \cap Bad_d) \geq \dim_L X$$
  dove $\dim_L X$ è la dimensione inferiore (definita tramite tangenti deboli).
• Strategia della Dimensione Inferiore Modificata: Poiché spesso $\dim_L X < \dim_H X$, gli autori introducono la dimensione inferiore modificata ($\dim_{ML} X$), definita come il supremo delle dimensioni inferiori di tutti i sottoinsiemi chiusi di $X$. L'obiettivo diventa dimostrare che $\dim_{ML} X = \dim_H X$ per i tappeti non-lineari.
• Spazi Simbolici e Approssimazione: Per gestire la non-linearità, gli autori lavorano in spazi simbolici. Sfruttano il fatto che, tramite iterazioni profonde, i sottosistemi generati da un IFS non-lineare possono essere approssimati da tappeti di Barański simbolici (che sono analoghi lineari). Usano il principio di distorsione limitata (bounded distortion) per controllare l'errore tra il sistema non-lineare e le sue approssimazioni auto-affini.

3. Risultati Principali

Il paper presenta tre teoremi fondamentali:

Teorema 2.1: Principio Variazionale per la Dimensione di Hausdorff
Per un tappeto non-lineare $X$ che soddisfa la coordinate OSC, la dimensione di Hausdorff è data dal supremo delle dimensioni di Hausdorff delle misure ergodiche:
$$\dim_H X = \sup \{ \dim_H \mu : \mu \text{ è ergodico} \}$$
Questo generalizza risultati noti per sistemi dominati e fornisce una formula variazionale per calcolare la dimensione.

Teorema 2.2: Uguaglianza tra Dimensione di Hausdorff e Dimensione Inferiore Modificata
Per i tappeti non-lineari soddisfacenti la coordinate OSC:
$$\dim_H X = \dim_{ML} X = \sup \{ \dim_L X' : X' \subset X \}$$
Questo è un risultato tecnico cruciale. Dimostra che, nonostante la non-linearità e la distorsione esponenziale che potrebbero teoricamente ridurre la dimensione inferiore, è sempre possibile trovare sottosistemi "dominati" (in senso simbolico) all'interno del frattale che hanno dimensione inferiore arbitrariamente vicina alla dimensione di Hausdorff totale. La prova richiede di costruire misure con esponenti di Lyapunov distinti per evitare che la distorsione non-lineare "nasconda" la struttura in una direzione.

Teorema 2.3: Risposta alla Domanda 1 (Risultato Principale)
Se un tappeto non-lineare $X$ soddisfa la coordinate OSC e possiede almeno due mappe in una certa colonna e una certa riga (condizione che garantisce la diffusività iperpiana), allora:
$$\dim_H(X \cap Bad_2) = \dim_H X$$
Questo risponde affermativamente alla domanda di Das–Fishman–Simmons–Urbański, fornendo la prima classe di attrattori non-lineari e non-conformi per cui l'intersezione con i punti mal approssimabili ha dimensione piena.

Proposizione 5.1: Insiemi Cantor Parabolici
Gli autori estendono anche il metodo agli insiemi Cantor parabolici (IFS con punti fissi parabolici), mostrando che anche per questi sistemi dinamici non-uniformemente contrattivi vale $\dim_H(Bad_1 \cap X) = \dim_H X$.

4. Contributi Chiave e Significato

1. Superamento della Linearità: Il contributo più significativo è la rimozione dell'ipotesi di linearità (affinità) necessaria nei lavori precedenti (come per i tappeti di Bedford-McMullen). Gli autori dimostrano che la struttura non-lineare non ostacola la piena dimensione dell'intersezione con i punti mal approssimabili, purché sia presente una sufficiente "diffusività" geometrica.
2. Nuova Classe di Frattali: Definizione e analisi dettagliata dei "tappeti non-lineari", che includono come caso particolare i tappeti auto-affini diagonali ma permettono mappe non lineari nelle coordinate.
3. Metodologia Ibrida: L'uso combinato di spazi simbolici, approssimazione tramite sottosistemi dominati, e la teoria del gioco di Schmidt tramite la dimensione inferiore modificata offre un nuovo strumento potente per lo studio della distribuzione aritmetica su frattali complessi.
4. Formula di Dimensione: Il Teorema 2.1 fornisce un metodo variazionale per calcolare la dimensione di Hausdorff di questi oggetti complessi, collegandola alla teoria delle misure ergodiche, con potenziali applicazioni numeriche.

In sintesi, il paper risolve un problema aperto di lunga data nella teoria dell'approssimazione diofantea su frattali, estendendo la validità del principio "i punti mal approssimabili sono ovunque" (in termini di dimensione) a una classe molto più ampia e geometricamente complessa di insiemi frattali.