Green's Function Framework for Boundary Value Problems with the Regularized Prabhakar Fractional Derivative

Sintesi Tecnica: Framework di Funzione di Green per Problemi al Valore al Contorno con Derivata frazionaria di Prabhakar Regularizzata

1. Problema Studiato

Il lavoro si concentra sulla risoluzione del primo problema ai valori iniziali e al contorno per un'equazione di sub-diffusione che coinvolge la derivata frazionaria regolarizzata di Prabhakar (Caputo-type).
L'equazione differenziale è definita sul dominio rettangolare $\Omega = \{(t, x) : 0 < t < T, 0 < x < a\}$ come segue:

$$L u = PCD^{\alpha, \beta, \gamma, \delta}_{0t} u(t, x) - u_{xx}(t, x) = f(t, x)$$

Dove:

• $PCD^{\alpha, \beta, \gamma, \delta}_{0t}$ è la derivata frazionaria di Prabhakar di tipo Caputo.
• $f(t, x)$ è una funzione sorgente assegnata.
• Le condizioni al contorno sono di Dirichlet: $u(t, 0) = \phi_0(t)$ e $u(t, a) = \phi_1(t)$.
• La condizione iniziale è: $u(0, x) = \tau(x)$.

L'operatore di Prabhakar generalizza sia la derivata di Riemann-Liouville che quella di Caputo, introducendo un kernel basato sulla funzione di Mittag-Leffler a tre parametri ($E_{\alpha, \beta}^\gamma$), permettendo una modellazione più sofisticata degli effetti di memoria e delle proprietà ereditarie nei sistemi fisici.

2. Metodologia

Gli autori adottano un approccio analitico rigoroso basato sui seguenti passaggi:

• Metodo di Sovrapposizione: Il problema non omogeneo complesso viene decomposto in due sottoproblemi più gestibili:

  1. Un problema con condizioni al contorno non omogenee e condizione iniziale nulla (risolto tramite $y(t,x)$).
  2. Un problema omogeneo con condizioni al contorno nulle e condizione iniziale non omogenea (risolto tramite $z(t,x)$).
     La soluzione totale è data da $u(t, x) = y(t, x) + z(t, x)$.

• Relazione tra Derivate: Viene utilizzata la relazione fondamentale tra la derivata di Prabhakar di tipo Caputo e quella di tipo Riemann-Liouville per trasformare il problema in una forma che facilita l'applicazione delle tecniche integrali.

• Costruzione della Funzione di Green:

  • Per il primo sottoproblema, la soluzione viene espressa come integrale di convoluzione della funzione sorgente e delle condizioni al contorno con una funzione di Green specifica.
  • Per il secondo sottoproblema (condizione iniziale), la soluzione viene derivata integrando la condizione iniziale $\tau(x)$ contro una funzione di Green modificata ($\tilde{G}$).
  • Le funzioni di Green sono espresse in termini di una funzione di Mittag-Leffler bivariata ($E_{12}$), definita come una serie doppia convergente.

• Dimostrazione di Esistenza e Unicità: Viene fornita una prova rigorosa che la soluzione costruita soddisfi l'equazione differenziale, le condizioni al contorno e la condizione iniziale. Questo include il calcolo esplicito delle derivate parziali (temporale e spaziale) delle serie infinite che compongono la funzione di Green e la verifica dei limiti asintotici.

3. Risultati Principali

Il risultato centrale del lavoro è il Teorema 2.1, che stabilisce l'esistenza e l'unicità di una soluzione regolare sotto specifiche ipotesi di regolarità sui dati ($\phi_0, \phi_1, \tau, f$).

La soluzione esplicita è data da:
$$u(t, x) = \int_0^t \phi_0(\eta) G_\xi(t, x, \eta, 0) d\eta - \int_0^t \phi_1(\eta) G_\xi(t, x, \eta, a) d\eta + \int_0^a \tau(\xi) \tilde{G}(t, x, 0, \xi) d\xi + \int_0^t \int_0^a f(\eta, \xi) G(t, x, \eta, \xi) d\xi d\eta$$

Dove:

• $G(t, x, \eta, \xi)$ è la funzione di Green fondamentale, costruita tramite il metodo delle immagini (serie su $n \in \mathbb{Z}$) e la funzione $E_{12}$.
• $\tilde{G}(t, x, 0, \xi)$ è la funzione di Green associata alla condizione iniziale, ottenuta integrando $G$ rispetto al tempo con un kernel di Prabhakar specifico.
• La funzione $E_{12}$ è definita come:
  $$E_{12} \left( \begin{matrix} \alpha_1, \beta_1, \delta_1 \\ \alpha_2, \beta_2, \delta_2; \alpha_3, \delta_3; \alpha_4, \delta_4; \beta_3, \delta_5 \end{matrix} \middle| \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty \frac{\Gamma(\alpha_1 n + \beta_1 m + \delta_1) x^n y^m}{\Gamma(\alpha_2 n + \beta_2 m + \delta_2) \dots}$$

4. Illustrazioni Numeriche ed Esempi

Gli autori presentano due esempi numerici per validare il modello e illustrare l'influenza dei parametri frazionari:

1. Influenza dei Dati Iniziali: Con $f=0$ e $\tau(x) = \sin(x)$, si osserva come il parametro $\beta$ (ordine frazionario) influenzi il tasso di decadimento della soluzione. Valori di $\beta$ piccoli (es. 0.1) indicano un comportamento sub-diffusivo estremo con decadimento molto lento, mentre valori più alti (es. 0.9) si avvicinano al comportamento di diffusione classica.
2. Influenza della Sorgente Esterna: Con condizioni iniziali nulle e $f(t,x) = t \sin(x)$, si dimostra come sistemi con ordini frazionari più alti rispondano più rapidamente e con ampiezze maggiori all'accumulo di energia dalla sorgente.

5. Significato e Contributi

• Generalizzazione Teorica: Questo lavoro estende la teoria delle funzioni di Green, ben consolidata per le equazioni differenziali classiche, al contesto delle equazioni frazionarie con l'operatore di Prabhakar, che è più generale dei modelli di Caputo o Riemann-Liouville standard.
• Nuova Rappresentazione Analitica: L'espressione esplicita della soluzione in termini di funzioni di Mittag-Leffler bivariate offre un nuovo strumento analitico per lo studio di sistemi con memoria complessa.
• Applicabilità: Il framework sviluppato è rilevante per la modellazione di fenomeni fisici avanzati come la diffusione anomala, la viscoelasticità e i processi di rinnovo, dove la memoria del sistema non può essere descritta da un singolo ordine frazionario.
• Fondamento per Futuri Studi: La dimostrazione di esistenza e unicità e la costruzione della funzione di Green forniscono una base solida per lo sviluppo di metodi numerici, lo studio di problemi inversi e l'estensione a domini multidimensionali o a equazioni con coefficienti variabili.

In conclusione, il paper fornisce un contributo significativo alla matematica applicata e al calcolo frazionario, offrendo una soluzione completa e rigorosa per una classe di problemi di sub-diffusione precedentemente non risolta in forma chiusa con l'operatore di Prabhakar regolarizzato.