Green's Function Framework for Boundary Value Problems with the Regularized Prabhakar Fractional Derivative

Titre et Contexte

Titre : Cadre de la fonction de Green pour les problèmes aux limites avec la dérivée fractionnaire régularisée de Prabhakar.
Auteurs : Erkinjon Karimov, Doniyor Usmonov, Maftuna Mirzaeva.
Sujet : Équations aux dérivées partielles fractionnaires, diffusion anormale, calcul opérationnel.

1. Le Problème Étudié

L'article se concentre sur la résolution du premier problème aux limites initiales pour une équation de sous-diffusion dans un domaine rectangulaire $\Omega = \{(t, x) : 0 < t < T, 0 < x < a\}$.

L'équation différentielle est donnée par :
$$L u = PCD^{\alpha, \beta, \gamma, \delta}_{0t} u(t, x) - u_{xx}(t, x) = f(t, x)$$
où :

• $PCD^{\alpha, \beta, \gamma, \delta}_{0t}$ désigne la dérivée fractionnaire de type Caputo régularisée de Prabhakar. C'est un opérateur généralisant les dérivées de Riemann-Liouville et de Caputo, basé sur la fonction de Mittag-Leffler à trois paramètres.
• $f(t, x)$ est une fonction source donnée.
• Les conditions aux limites sont de Dirichlet : $u(t, 0) = \phi_0(t)$ et $u(t, a) = \phi_1(t)$.
• La condition initiale est : $u(0, x) = \tau(x)$.

L'objectif est de trouver une solution régulière $u(t, x)$ satisfaisant ces conditions et d'obtenir une représentation explicite via une fonction de Green.

2. Méthodologie

Les auteurs utilisent une approche analytique rigoureuse combinant plusieurs techniques :

• Méthode de superposition : Le problème non homogène complexe est décomposé en deux sous-problèmes plus simples :

  1. Un problème avec conditions aux limites non homogènes et condition initiale homogène ($y(t,x)$).
  2. Un problème avec conditions aux limites homogènes et condition initiale non homogène ($z(t,x)$).
     La solution totale est $u(t, x) = y(t, x) + z(t, x)$.

• Relation entre dérivées de Caputo et Riemann-Liouville : Pour résoudre les sous-problèmes, les auteurs exploitent la relation entre la dérivée de Prabhakar de Caputo et celle de Riemann-Liouville. Étant donné que la condition initiale est nulle pour le premier sous-problème, les deux opérateurs coïncident, simplifiant l'analyse.

• Construction de la Fonction de Green :

  • Pour le terme source et les conditions aux limites, la solution est exprimée comme une intégrale de convolution impliquant une fonction de Green $G(t, x, \eta, \xi)$.
  • Pour la condition initiale, une fonction auxiliaire $\tilde{G}(t, x, 0, \xi)$ est introduite.
  • L'expression explicite de ces fonctions fait appel à une fonction de Mittag-Leffler bivariate (notée $E_{12}$), définie par des séries doubles convergentes.

• Preuve de validité : Les auteurs démontrent rigoureusement que la fonction construite satisfait bien l'équation différentielle, les conditions aux limites et la condition initiale. Cela implique des calculs complexes de dérivées partielles (par rapport au temps et à l'espace) et l'utilisation de propriétés des fonctions de Wright et des séries de Mittag-Leffler pour vérifier les limites.

3. Résultats Clés

• Représentation explicite de la solution : La solution unique est donnée par la formule (2.4) :
  $$u(t, x) = \int_0^t \phi_0(\eta) G_\xi(t, x, \eta, 0) d\eta - \int_0^t \phi_1(\eta) G_\xi(t, x, \eta, a) d\eta + \int_0^a \tau(\xi) \tilde{G}(t, x, 0, \xi) d\xi + \int_0^t \int_0^a f(\eta, \xi) G(t, x, \eta, \xi) d\xi d\eta$$

• Forme de la Fonction de Green : La fonction de Green $G$ est exprimée sous forme de série infinie faisant intervenir la fonction bivariate $E_{12}$ :
  $$G(t, x, \eta, \xi) = \frac{(t-\eta)^{\beta_1-1}}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left[ E_{12}(\dots |x-\xi+2an|) - E_{12}(\dots |x+\xi+2an|) \right]$$
  où les paramètres $\beta_1 = \beta/2$ et $\gamma_1 = \gamma/2$ sont liés aux paramètres de l'opérateur de Prabhakar.

• Théorème d'existence et d'unicité : Le théorème 2.1 établit l'existence et l'unicité d'une solution régulière sous des hypothèses de régularité sur les données ($\phi_0, \phi_1, \tau$) et la fonction source $f$ (condition de Hölder).

• Illustrations Numériques :

  • Exemple 1 (Influence de la condition initiale) : Montre que pour un ordre fractionnaire $\beta$ faible (ex: 0.1), la décroissance du profil initial est extrêmement lente (sous-diffusion profonde), tandis qu'un $\beta$ plus élevé (ex: 0.9) accélère la relaxation vers l'équilibre.
  • Exemple 2 (Influence de la source externe) : Démontre que les systèmes avec un ordre fractionnaire élevé répondent plus rapidement et avec une amplitude plus forte à une source d'énergie croissante, contrairement aux systèmes à faible ordre qui réagissent avec un grand retard.

4. Contributions Principales

1. Extension du cadre de la fonction de Green : Application réussie de la méthode de la fonction de Green à une équation de sous-diffusion impliquant l'opérateur de Prabhakar régularisé, un cas plus général que les dérivées de Caputo ou Riemann-Liouville standards.
2. Nouvelle forme analytique : Introduction d'une représentation explicite de la solution utilisant la fonction de Mittag-Leffler bivariate ($E_{12}$), offrant une structure mathématique riche pour modéliser les effets de mémoire complexes.
3. Preuve rigoureuse : Fourniture d'une preuve complète de la validité de la solution obtenue, vérifiant explicitement la satisfaction de l'équation différentielle et des conditions aux limites, ce qui est souvent un point faible dans la littérature sur les équations fractionnaires.

5. Signification et Perspectives

Ce travail est significatif pour plusieurs raisons :

• Modélisation physique : Il offre un outil puissant pour modéliser des phénomènes de diffusion anormale et de systèmes à mémoire longue (viscoélasticité, transport dans les milieux hétérogènes) où les modèles classiques ou les dérivées fractionnaires simples sont insuffisants. Le noyau de Prabhakar permet une paramétrisation fine des effets de mémoire.
• Développement théorique : Il enrichit le calcul fractionnaire opérationnel et les structures algébriques associées aux opérateurs de Prabhakar.
• Futur : Les auteurs suggèrent que ce cadre peut être étendu à des domaines multidimensionnels ou utilisé pour étudier la stabilité de tels systèmes, ouvrant la voie à des applications en ingénierie, biologie et finance où la dynamique temporelle est complexe.

En résumé, cet article fournit une solution analytique complète et vérifiée pour une classe importante d'équations de diffusion fractionnaire, en exploitant la puissance des fonctions spéciales multivariées pour capturer la physique des systèmes à mémoire.